Triángulo y máximo valor

Question

Dado cualquier triángulo ABC con $a \ge b \ge c$ tal que $\frac{a^3+b^3+c^3}{\sin^3(A)+\sin^3(B)+\sin^3(C)}=7$, ¿cuál es el valor máximo de $a$?

Answer 1

Usando la ley de seno, es decir, $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k $ $

nos encontramos con que el estado de la cuestión es simplemente equivalente a $k^3 = 7$.

Así $a = k \sin A \le k = \sqrt[3]7$.

Answer 2

desde $ $$\sin^3{A}+\sin^3{B}+\sin^3{C}=(8R^3)^{-1}(a^3+b^3+c^3)$de % que $$(8R^3)^{-}=\dfrac{1}{7}\Longrightarrow R^{-1}=\sqrt[3]{\dfrac{1}{56}}$ $ así $$a=2R\sin{A}\le 2R=\sqrt[3]{7}$ $