¿Por qué Hartshorne requiere que un esquema esté separado para definir los divisores de Weil?

Question

Al definir los divisores de Weil, Harsthorne sólo considera esquemas que son integrales, noetherianos, regulares en codimensión 1 y separados. Me pregunto si uno puede dejar caer la condición que el esquema está separado, pues no veo cómo esto juega un papel en las definiciones y las características usuales de divisores. ¿Hay algo que va terriblemente mal? :)

(Soy consciente de que las demás condiciones no son todas pertinentes para cada definición).

¡Gracias!

Answer 1

Nueva respuesta:

Me da la vuelta a través de Hartshorne sección II.6, y nada requiere separatedness hay que pude ver. La siguiente no es precisamente la dirección de la pregunta, pero lo he añadido porque me ayudó a perder el interés en la pregunta :).

Conexión con nuestra intuición para la línea con el doble de origen, Pilas Proyecto Lema 27.29.3 dice que si $X$ es quasicompact entonces podemos encontrar una densa abrir subscheme $U \subseteq X$ que es separada. Entonces por Hartshorne Prop. 6.5 hay un surjection $Cl(X) \to Cl(U)$, que es un isomorfismo cuando codim$_XZ > 1$. Así, en muchos ejemplos de la clase de grupo es el mismo o no muy diferente de algo separadas. Lema 27.29.3 es también satisfechos de la forma más fácil de no quasicompact ejemplos, como afín espacio con infinidad de orígenes.

Si usted está a la caza de patologías, tal vez usted debe buscar algo que no 27.29.3 entonces. Todavía, sin embargo, yo no estoy seguro de cuáles son las propiedades que debe buscar a fallar ya que creo que todo en Hartshorne es cierto.

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Tras una inspección más cercana, el papel que ligado a continuación tiene más que ver con nonreducedness y es acerca de los divisores de Cartier en lugar de divisores de Weil. Mis disculpas por eso. (En particular, el papel es acerca de cuando Hartshorne Prop. 6.15 falla, y 2.2 es un no-reducido el esquema de ejemplo, que también pasa a ser nonseparated.)

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Original respuesta:

No sé algo específico que va mal, así que tal vez esto no va a responder a su pregunta - mis disculpas si nada de esto es nuevo para usted.

Quiero señalar que en Las Pilas de Proyecto divisores de Weil se definen para $X$ localmente Noetherian integral esquema. Yo creo que estos supuestos son lo suficiente para hacer de un director divisores bien definido; yo recomiendo mirar a través de las Pilas Proyecto de capítulo para obtener más información.

También, cuando alguien se está preguntando "¿por qué Hartshorne hacer la suposición de _____" (lo cual sucede a menudo), deben ir a las Pilas de Proyecto para ver el más general de lo posible.

Actualización:

Ha visto usted este papel de Schroer? Ejemplo (2.2) podría ser lo que usted está buscando.