¿Por qué usamos esta definición de "algebraica entero"?

Question

Un número es un "entero algebraico" si es la raíz de un monic polinomio con coeficientes enteros. Artin dice (Álgebra, p. 411):

El concepto de expresión algebraica entero fue uno de los descubrimientos más importantes de la teoría de números. No es fácil explicar rápidamente por qué es la definición correcta de usar, pero a grandes rasgos, podemos pensar que el coeficiente inicial de la primitiva polinomios irreducibles $f(x)$ como un "denominador." Si $\alpha$ es la raíz de un polinomio entero $f(x)=dx^n+a_{n-1}x^{n-1}...$ $d\alpha$ es un entero algebraico, porque es una raíz de la monic entero polinomio $x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + d^{n-1}a_0$.

Por lo tanto, podemos "borrar el denominador" en cualquier algebraica de números multiplicando con un adecuado entero para obtener un entero algebraico.

Cuando me enteré de enteros algebraicos, busqué en internet y vi algunos consejos que tal vez ellos fueron utilizadas para probar el de Abel-Ruffini teorema. Así que aparqué el cuestionamiento de su uso por un tiempo; ahora creo que entiendo una prueba de este teorema (la que está al final de Artin de Álgebra) y no tiene nada que ver con algebraica de los números enteros (que puedo decir).

Así que, básicamente: ¿por qué es importante si un número es un entero algebraico? Creo que entiendo lo que está diciendo acerca de la relación entre las raíces de entero polinomios y algebraica de los números enteros, pero no veo por qué este es "uno de los descubrimientos más importantes de la teoría de los números."

Answer 1

Supongamos que deseamos considerar como "enteros" algunos sub-anillo $\:\mathbb I\:$ del campo de todos los números algebraicos. Para ser puramente algebraica noción, no puede distinguir entre el conjugado de raíces, por lo que si $\rm\:\alpha,\alpha'$ son raíces del mismo polinomio irreducible sobre $\rm\:\mathbb Q\:,\:$ $\rm\:\alpha\in\mathbb I\iff \alpha'\in\mathbb I\:.\:$ También deseamos $\rm\:\mathbb I\cap \mathbb Q = \mathbb Z\ $, de modo que nuestra noción de la algebraicas entero es un fiel extensión de la noción de lo racional entero. Ahora supongamos que $\rm\:f(x)\:$ es el monic mínima polinomio sobre $\rm\:\mathbb Q\:$ de una expresión algebraica "entero" $\rm\:\alpha\in \mathbb I\:.\:$ $\rm\:f(x) = (x-\alpha)\:(x-\alpha')\:(x-\alpha'')\:\cdots\:$ ha coeficientes en $\rm\:\mathbb I\cap \mathbb Q = \mathbb Z\:.\:$ por lo Tanto el monic polinomio mínimo de elementos $\in\mathbb I\:$ deben tener los coeficientes de $\in\mathbb Z\:.\:$ por el Contrario, se muestra que el conjunto de todos los números algebraicos contiene $1$ y es cerrado bajo tanto de la diferencia y de la multiplicación, por lo que forma un anillo. Por otra parte, como Artin la comilla muestra, el cociente campo de $\rm\:\mathbb I\:$ es el campo de todos los números algebraicos. Por lo tanto, un par de naturales hipótesis sobre la noción de una expresión algebraica entero implica el criterio estándar en términos de un mínimo de polinomios.

Debido a que esta noción de número entero fielmente extiende la noción de racionales enteros, podemos emplear algebraica de los números enteros para inferir resultados sobre racionales enteros. Esto a menudo resulta en grandes simplificaciones porque muchos diophantine ecuaciones convertido en simple - ser "lineal" - cuando uno de los factores en algebraicas campos de la extensión. Ver, por ejemplo, las pruebas sobre ternas Pitagóricas el uso de los enteros de Gauss, o las clásicas pruebas de FLT para los pequeños exponentes empleando algebraica de los números enteros.

Answer 2

La idea ya había aparecido en la obra de Eisenstein, aunque sólo de pasada. Algebraica de los números enteros salió a la luz en la obra de Dedekind y Kronecker, que a su vez extendió las ideas de Kummer.

Si te acuerdas de Euler intento de demostrar el Último Teorema de Fermat para $n=3$ y Lamé del intento general de la prueba, ambos eran suponiendo implícitamente que pudiera trabajar en un anillo de la forma$\mathbb{Z}[\theta]$, $\theta$ algebraicas, y tienen una especie de "única factorización", Euler trabajó en $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$, Lamé estaba trabajando en $\mathbb{Z}[\zeta_p]$ donde $\zeta_p$ es una primitiva $p$-ésima raíz de la unidad.

A pesar de que generalmente no tienen factorización única, como Kummer había mostrado, Kummer fue capaz de rescatar a una cierta cantidad de factorización única para los anillos de este último tipo, $\mathbb{Z}[\zeta_p]$, mediante el uso de los números ideales, y demostrando que cada elemento de a $\mathbb{Z}[\zeta_p]$ se puede expresar de forma única como producto de la real e ideal de números primos.

Pero no estaba claro cómo extender las ideas arbitraria de las extensiones de $\mathbb{Q}$. Si usted comienza con $\mathbb{Q}(\alpha)$, e intentar hacerlo con $\mathbb{Z}[\alpha]$, entonces las cosas pueden ir muy mal. Resulta que el "derecho" de la idea a utilizar es la de algebraicas entero: usted desea considerar todos los números en $\mathbb{Q}(\alpha)$ que son algebraica de los números enteros, y que las formas de su anillo de "enteros de $\mathbb{Q}(\alpha)$", en el que puede hacer a la teoría de números.

A continuación, puede recuperar una especie de "factorización única", es decir, "la única factorización en ideales": para cada ideal $I$ de el anillo de $\mathscr{O}(\alpha)$ de todos los algebraica de los números enteros que están en $\mathbb{Q}(\alpha)$, se puede expresar $I$ únicamente como un producto $$I = \mathfrak{p}_1^{\alpha_1}\cdots \mathfrak{p}_m^{\alpha_m}$$ de primer ideales $\mathfrak{p}_i$, con los primos de a pares distintos, y los exponentes enteros positivos, con la expresión única hasta el fin. En muchos aspectos, esto permite recuperar "suficiente" única factorización de proceder (aunque no en todas las situaciones). Tomando un elemento $a\in\mathscr{O}(\alpha)$, se puede considerar $I=(a)$, y este le da el tipo de "factorización" que Kummer obtenidos para cyclotomic enteros, con el principal primer ideales correspondiente a "real de los números primos", y no principal primer ideales correspondiente a "ideal de los números primos".