¿Es esta escritura descuidada por límites?

Question

Por favor, tenga en cuenta que no estoy pidiendo que se compute o me muestre cómo hacer este límite. Me estoy preguntando cómo escribir un limpio y formal de la solución que está libre de cualquier error, ambigüedad o falta de cuidado.

Dado $$\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{3x^2 y}{x^2 + y^2}$$, encontrar su límite

Para encontrar el límite a lo largo de $y = mx$ y deje $f(x,y) = \dfrac{3x^2 y}{x^2 + y^2}$. Así que tenemos $f(x,mx) = \dfrac{3x^2 mx}{x^2 + m^2 x^2} = \dfrac{3mx}{1 + m^2}$

Aquí es la parte donde yo no estoy tan caliente.

Puedo escribir esto?

$\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} f(x,mx) = \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{3mx}{1 + m^2}= 0$

Y a la conclusión de que el límite es, de hecho, $0$ a través de cualquier línea. (una justificación formal implica epsilon-delta, pero omito aquí porque esa es otra cuestión para otro momento).

Estoy pensando que el primer signo de igualdad que está mal.

Comentario la Mayoría de los libros que he leído parece que hacen todo sin el límite del operador. Stewart, por ejemplo, sólo se sostiene que el límite es este y este a lo largo de este camino y ese camino. Yo quiero hacer mis respuestas con el límite de los operadores

Answer 1

Hay muchas maneras de acercarse a (0; 0), acercarse a lo largo de las líneas de $y = mx$ es de 1 vía, otras maneras se aproxima a lo largo de las curvas de $y = x^2$ o $y = \sqrt{x}$ o $y = x^3$, o... cualquier curvas que pasan por (0; 0).

Así, señala que como $(x; y) \rightarrow (0; 0)$ a lo largo de las líneas de $y = mx$ el límite es 0, es definitivamente no es suficiente para demostrar que el límite no existe.

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He aquí un contra-ejemplo

Ejemplo

Evaluar $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0\\y \rightarrow 0}} \dfrac{x^2 y}{x^4 + y^2}$

Usted puede demostrar que el límite es siempre 0, $(x; y) \rightarrow (0; 0)$ a lo largo de las líneas $y = mx$. Voy a dejar esto, que debería ser tan sencillo como un trozo de pastel. Vamos a intentarlo. :)

Pero si dejas $(x; y) \rightarrow (0; 0)$ a lo largo de la curva de $y = x^2$, entonces usted tendrá: $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0\\y \rightarrow 0}} \dfrac{x^2 y}{x^4 + y^2} = \lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{x^4}{x^4 + x^4} = \dfrac{1}{2}$.

De modo que el límite no existe.

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Usted puede cambiar en polar coordinar, como este: Deje $\left\{ \begin{array}{l} x = r \cos \varphi \\ y = r \sin \varphi \end{array} \right.$, cuando se $(x; y) \rightarrow (0; 0)$ significa que $r \rightarrow 0$, e $\varphi$ pueden variar libremente. Así, para mostrar que el límite existe, todo lo que debe hacer es mostrar que como $r \rightarrow 0$, e $\varphi$ toma cualquier valor, el límite sigue siendo el mismo.

Como este:

$\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}\dfrac{3x^2y}{x^2 + y^2} = \lim\limits_{r \rightarrow 0}\dfrac{3r^3\cos^2 \varphi \sin \varphi}{r^2} = \lim\limits_{r \rightarrow 0} 3r\cos^2 \varphi \sin \varphi = 0$.

Por supuesto, el límite de la expresión final hace que no dependen del valor de $\varphi$, puede utilizar el Teorema del sándwich de ver esto: $-3r \le 3r \cos^2 \varphi \sin \varphi \le 3r$.

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Otra manera de probar esto es un aviso de que:

• $|f(x)| \rightarrow 0 \Leftrightarrow f(x) \rightarrow 0$.
• $x^2 + y^2 \ge 2 |xy|$

Así, tenemos:

$0 \le \left| \dfrac{3x^2y}{x^2 + y^2} \right| \le \left| \dfrac{3x^2y}{2xy} \right| = \dfrac{3}{2} \left| x \right|$

Ahora, tomar el límite de lo $(x; y) \rightarrow (0; 0)$, y aplicar el Teorema del sándwich. :)

Answer 2

Sólo para ver lo mal que las cosas pueden estar siendo totalmente agradable a lo largo de líneas rectas. Considere la función $f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$ que es definido como este. Para cualquier punto de $(x,y)$ considera la pendiente de la recta que pasa por el origen en el que se encuentra (cuidar el caso de $(x,y)=(0,0)$ separatel). Entonces, si la pendiente no es de la forma $1/n$, $n\in \mathbb N$ a continuación, establezca $f(x,y)=0$. De lo contrario, $(x,y)$ se encuentra en una línea a través del origen de la pendiente $1/n$ y, a continuación, establezca $f(x,y)=0$ si la distancia de a $(x,y)$ al origen es menor que el $1/n$, y establecer $f(x,y)=1$ lo contrario. El límite en el origen a lo largo de cualquier línea recta es $0$ a pesar de que el límite global en el origen no existe.