Prueba del teorema de la base normal

Question

Estoy un poco confundido por la demostración del Teorema de la Base Normal en la obra de E. Artin Teoría de Galois . En concreto, me cuesta entender por qué una determinada matriz cuadrada tiene una forma determinada.

El teorema y la prueba son los siguientes:

Teorema : Si $E$ es una extensión normal de $F$ y $\sigma_1,...,\sigma_n$ son los elementos de su grupo $G$ hay un elemento $\theta$ en $E$ de manera que los elementos $\sigma_1(\theta),...,\sigma_n(\theta)$ son linealmente independientes con respecto a $F$ .

Prueba : Según el teorema 27, existe un $\alpha$ tal que $E=F(\alpha)$ . Sea $f(x)$ sea la ecuación de $\alpha$ , poned $\sigma_i(\alpha)=\alpha_i$ ,

$g(x)=\frac{f(x)}{(x-\alpha)f'(\alpha)}$ y $g_i(x)=\sigma_i(g(x))=\frac{f(x)}{(x-\alpha_i)f'(\alpha_i)}$

$g_i(x)$ es un polinomio en $E$ teniendo $\alpha_k$ como raíz para $k\neq i$ y por lo tanto $$\begin{equation} g_i(x)g_k(x)=0\mod f(x) \text{ for } i\neq k \end{equation}$$ En la ecuación $$\begin{equation} g_1(x)+g_2(x)+...+g_n(x)-1=0 \end{equation}$$ el lado izquierdo es de grado como máximo $n-1$ . Si $(2)$ es cierto para $n$ diferentes valores de $x$ el lado izquierdo debe ser idéntico $0$ . Tal $n$ los valores son $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ , ya que $g_i(\alpha_i)=1$ y $g_k(\alpha_i)=0$ para $k\neq i$ .

Multiplicando la segunda ecuación anterior por $g_i(x)$ y utilizando los primeros programas: $$\begin{equation} (g_i(x))^2=g_i(x)\mod f(x) \end{equation}$$ A continuación calculamos el determinante $$\begin{equation} D(x)=|\sigma_i\sigma_k(g(x))|\hspace{.5cm} i,k=1,2,...,n \end{equation}$$ y demostrar $D(x)\neq 0$ . Si lo elevamos al cuadrado multiplicando columna por columna y calculamos su valor ( $\text{mod} (f(x)$ ) obtenemos de las tres ecuaciones anteriores un determinante que tiene $1$ en la diagonal y $0$ en otro lugar.

Así que $$\begin{equation} (D(x))^2=1\mod f(x). \end{equation}$$ $D(x)$ sólo puede tener un número finito de raíces en $F$ . Evitándolos podemos encontrar un valor $a$ para $x$ tal que $D(a)\neq 0$ . Ahora, establezca $\theta =g(a)$ . Entonces el determinante $$\begin{equation} |\sigma_i\sigma_k(\theta)|\neq 0 \end{equation}$$

Considere cualquier relación lineal > $x_1\sigma_1(\theta)+x_2\sigma_2(\theta)+...+x_n\sigma_n(\theta)=0$ donde el $x_i$ están en $F$ . Aplicando el automorfismo $\sigma_i$ a la misma llevaría a $n$ ecuaciones homogéneas para el $n$ incógnitas $x_i$ . (5) muestra que $x_i=0$ y se demuestra nuestro teorema.

Mi dificultad con la prueba anterior ocurre cuando eleva al cuadrado el determinante. Por ejemplo, si $n=3$ la matriz quedaría así:

$$\begin{vmatrix} \sigma_1\sigma_1(g(x)) & \sigma_1\sigma_2(g(x))&\sigma_1\sigma_3(g(x))\\ \sigma_2\sigma_1(g(x)) & \sigma_2\sigma_2(g(x))&\sigma_2\sigma_3(g(x))\\ \sigma_3\sigma_1(g(x)) & \sigma_3\sigma_2(g(x))& \sigma_3\sigma_3(g(x)) \end{vmatrix}$$ .

Entonces el $(2,2)$ la entrada en la plaza es: $$\begin{equation} \sigma_1\sigma_2(g(x))\sigma_2\sigma_1(g(x))+\sigma_2\sigma_2(g(x))^2+\sigma_3\sigma_2(g(x))\sigma_2\sigma_3(g(x)) \end{equation}$$

lo que creo que se supone que ocurre es que cada término de esta suma es $\sigma_i(g(x))^2$ y por tanto es congruente con $\sigma_i(g(x))$ cuya suma es congruente con $1$ como $i$ va de $1$ a $n$ . Sin embargo, para que esto sea así, parece que necesitamos $\sigma_1\sigma_2=\sigma_2\sigma_1$ . Aunque esto puede ser cierto cuando $n=3$ En este sentido, ilustra mi preocupación por el hecho de que el funcionamiento de las matemáticas dependa de que los elementos del grupo se conmuten. Entonces, mi pregunta es: ¿Por qué el cuadrado tiene la forma que describe Artin?

Answer 1

Dejar $\equiv$ denotan la congruencia módulo $f(x)$ tenemos $$\det\left(\left(\sigma_i\sigma_kg(x)\right)_{ik}\right)^2$$ $$=\det\left(\left(\sum_j(\sigma_j\sigma_ig(x))(\sigma_j\sigma_kg(x))\right)_{ik}\right)$$ $$=\det\left(\left(\sum_j\sigma_j(g_i(x)g_k(x))\right)_{ik}\right)$$ $$\equiv\det\left(\left(\sum_j\sigma_j(\delta_{ik}g_i(x))\right)_{ik}\right)$$ $$=\det\left(\left(\delta_{ik}\sum_j\sigma_j\sigma_ig(x)\right)_{ik}\right)$$ $$=\det\left(\left(\delta_{ik}\sum_j\sigma_jg(x)\right)_{ik}\right)$$ $$=\det\left(\left(\delta_{ik}\sum_jg_j(x)\right)_{ik}\right)$$ $$=\det\left(\left(\delta_{ik}\right)_{ik}\right)$$ $$=1.$$

Answer 2

El argumento puede simplificarse como sigue: el valor de $\sigma_i (\sigma_j(g(x))$ en $\alpha$ es $1$ si $\sigma_i = (\sigma_j)^{-1}$ y $0$ de lo contrario. Por lo tanto, $D(\alpha)$ es el determinante de la matriz de permutación correspondiente a la permutación de $\sigma_1...\sigma_n$ enviando $\sigma_i$ a $\sigma_i^{-1}$ . De ello se desprende que $D(\alpha) = \pm 1$ Así que $D(x)\ne 0$ . (Por cierto, $D(\alpha)=\pm 1$ se desprende de $D^2(x)\equiv 1 \mod f(x)$ . Puede probar $D^2(x) \equiv 1 \mod f(x)$ demostrando que $D(\alpha)=\pm 1$ y que $D^2(x)$ se encuentra en $F[x]$ ya que para cualquier $\sigma_k$ tenemos $\sigma_k(D(x)) = \pm D(x)$ como $\sigma_k(D(x))$ es el determinante de la matriz obtenida a partir de la correspondiente a $D(x)$ por una permutación de filas).