Si$\gamma$ es irracional, entonces$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(2\pi k \gamma)\to \int_T f(t)\,dt$

Question

Tengo que mostrar que $ \ lim_ {n \ a \ infty} \ frac {1} {n} \ sum_ {k = 1} nf (2 \ pi k \ gamma) = \ int_T f (t) Dt $$

Aquí$\gamma$ es cualquier número irracional en la línea real y$f(t)$ es cualquier función periódica continua definida en$T = [-π, π]$.

Tengo que demostrar esta igualdad, pero no tengo absolutamente ninguna idea cómo acercarme ... No puedo incluso calcular hacia fuera la razón por la que$\gamma$ tiene que ser irracional.

¿Podría alguien por favor ayudarme con este problema?

Answer 1

En primer lugar, como se señaló en los comentarios de arriba, el lado derecho de las necesidades de un factor de $(2\pi)^{-1}$. Con eso en mente, aquí vamos.

Vamos a elegir nuestro favorito $2\pi$ funciones periódicas. Es decir, para $j=0,1,2,\dots$ deje $f_j(x)=e^{ijx}$ (donde $i$ es la constante imaginario). Ahora vamos a ver si la igualdad se mantiene para estas funciones. Para $j=0$, es fácil ver que ambos lados de la igualdad de $1$. El caso más difícil es $j\neq 0$. Yo voy a dejar a usted para comprobar que el siguiente tiene por $j\neq0$: $$ \int_{-\pi}^\pi e^{ijx}=0. $$ Ahora considere las sumas parciales en el lado izquierdo. Tenemos $$ \frac{1}{N}\sum_{k=1}^N e^{2\pi i k\gamma j}=e^{2\pi i\gamma j}\frac{1-e^{2\pi i N\gamma j}}{N(1-e^{2\pi i\gamma j})} $$ Consideremos $$ \lim_{N\to\infty}\frac{1-e^{2\pi i N\gamma j}}{N(1-e^{2\pi i\gamma j})} $$ Como la función de $e^{ijx}$ es periódica, el numerador es limitada en magnitud, como $$ |e^{2\pi i N\gamma j}|\leq \sup_{y\T} |e^{ijy}|. $$ Por otra parte, como $\gamma$ es irracional, $j\gamma$ nunca es un número entero para $j=1,2,\dots$ lo que significa que $$ 1-e^{2\pi i \gamma j}\neq 0. $$ Por lo tanto, tenemos $$ \lim_{N\to\infty}\frac{1-e^{2\pi i N\gamma j}}{N(1-e^{2\pi i\gamma j})}=0 $$ y hacia atrás, podemos ver que esto implica $$ \lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N e^{2\pi i k\gamma j}=0 $$ como se desee.

Así, hemos demostrado que la identidad tiene para todos los $f_j(x)$. Por la linealidad de las sumas e integrales, podemos ver que se llevará a cabo por cualquier trigonométricas polinomio, es decir, cualquier función que puede ser escrito como $$ \sum_{j=0}a_jf_j(x) $$ para algunos escalares $a_j$. Ahora estamos de suerte, porque podemos aproximado de todas las funciones continuas de forma arbitraria así el uso de polinomios trigonométricos. Se puede utilizar la Piedra de aproximación de Weierstrass para salir de aquí? Si no, me avisas y yo puede agregar un seguimiento detallado :)

Edit: acabado el problema.

Deje $\epsilon>0$, y deje $f(x)$ ser una función arbitraria reunión de sus restricciones. El uso de Stone-Weierstrass, podemos encontrar un trig polinomio $g(x)$ tal que $$ \sup_{y}|f(y)-g(y)|<\epsilon/2. $$ Ahora considere la posibilidad de $$ \left|\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(2\pi k\gamma)-\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)dt\right|. $$ Utilizando el hecho de que la igualdad tiene para nuestro trig polinomio, esto es igual a $$ \left|\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(2\pi k\gamma)-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^ng(2\pi k\gamma)+\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi g(t)dt-\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)dt\right|. $$ Con el triángulo de la desigualdad, podemos obligado por este $$ \left|\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(2\pi k\gamma)-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^ng(2\pi k\gamma)\right|+\left|\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi g(t)dt-\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)dt\right|, $$ o, equivalentemente, $$ \left|\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n[f(2\pi k\gamma)-g(2\pi k\gamma)]\right|+\left|\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi [g(t)-f(t)]dt\right|. $$ Esto ahora puede ser limitada por $$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n|f(2\pi k\gamma)-g(2\pi k\gamma)|+\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |g(t)-f(t)|dt $$ que a su vez está limitada por $$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sup_{y}|f(y)-g(y)|+\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\sup_{y}|f(y)-g(y)|. $$ Por la elección de nuestro trig polinomio, esto es menos de $$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\epsilon/2+\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\epsilon/2=\epsilon. $$

Ahora tome $\epsilon$ a cero.