Aut ($G$)$\simeq$ Aut ($M$)$ \times$ Aut ($N$)

Question

Una pregunta en la teoría de grupo:

Sea$ G = M \times N $ el producto directo de$ 2 $ normal subgrupos. Si$( | M | , | N | ) = 1 $ entonces Aut ($G$)$\simeq$ Aut ($M$)$ \times$ Aut ($N$). Probé que Aut ($M$)$ \times$ Aut ($N$)$\le$ Aut, pero no puedo probar la otra inclusión. ¿Alguna pista?

Answer 1

Además del teorema de Lagrange dice que usted no va a tener ningún $\phi\in\text{Aut}(G)$ mover nada en $N$ a nada en $M$ y viceversa. Por lo tanto esperamos que nos puede describir una automorphism en $\text{Aut}(G)$ por lo que hace a cada uno de los factores - queremos que cada una de las $\phi$ escrito $\psi_M\times \psi_N$ donde $(\psi_M\times\psi_N)(m,n)=(\psi_M(m),\psi_N(n))$. Ahora, dado un $\phi$, ¿cómo podemos averiguar lo $\psi_M$ $\psi_N$ son?

Considere la posibilidad de $\phi(m,1)$. ¿En qué mapa? ¿Qué acerca de la $\phi(1,n)$? Recuerde que $M,N$ son normales y coprime, por lo que son característicos de los subgrupos de Sylow de $M\times N$. Ahora, ¿qué acerca de la $\phi(m,n)$?