Integración de curvas con Cauchy

Question

Quiero calcular lo siguiente:
1.$$\int_{\partial D_{2}(0)} \frac{e^{z}dz}{(z+1)(z-3)^{2}}dz,$ $ 2.$$\int_{\partial D_{2}(-2i)}\frac{dz}{z^{2}+1} $ $ 4.$$\int_{\partial D_{2}(0)} \frac{\sin z}{z+i} dz $$$\int_{\partial D_{1}(0)} \frac{e^zdz}{(z-2)^3} dz,$ D_ {r} $ where $C $.

(No escribiré la curva en la integral)

1. ps
2. $ denotes a disc with radius $ No está en el disco, así que$ and center $ $
3. ps
4. $$\int \frac{\frac{e^{z}}{z+1}}{(z-3)^{2}}=2\pi i f'''(3) = 2\pi i \frac{e^{3}(3-1)}{(3+1)^{3}}= \frac{e^{3}i}{16}.$ Porque$i$ no está en el disco.

Estaré muy contento si alguien pudiera leer mis respuestas y decirme si son legítimas. Gracias por tu atención.

Answer 1

$(1)\,$ El único polo de la función en$\,\{z\;:\;|z|<2\}\,$ es$\,z=-1\,$, así:$$Res_{z=-1}(f)=\lim_{z\to -1}\frac{e^z}{(z-3)^2}=\frac{1}{16e}$ $ y$$\int_{\partial D_2(0)}\frac{e^z}{(z+1)(z-3)^2}\,dz=2\pi i\frac{1}{16e}=\frac{\pi i}{8e}$ $

$(2)\,$ está bien.

$(3)\,$ ¿Por qué dividiste por$\,-i\,$? Aparte de eso, es correcto, y también$\,(4)$