$G$ Es un grupo finito tal que para cualquier subgrupo$H,K$ of$G$,$HK$ es también un subgrupo de$G$, entonces es cada subgrupo de$G$ Normal?

Question

Deje $G$ ser un grupo finito tal que $HK=KH$ para cualquier subgrupos $H,K$$G$ . Entonces es cada subgrupo de $G$ normal ?

[Editar] (para cualquiera que esté pensando en esta pregunta no es digno de mantenimiento: Aquí está la respuesta de la OP a un comentario de Tobias Kildetoft que indica que la condición implica la unicidad de todos los subgrupos de Sylow, y que, por ende, $G$ es nilpotent, JL)

Si por una prima fija $p$, $H,K$ son dos diferentes Sylow p-subgrupos, a continuación, $|H \cap K| < |H|=|K|$ y, a continuación, el subgrupo $HK$ $p$- subgrupo con el fin de $|H||K|/|H \cap K| > |H|$ , imposible ! Por tanto, para un determinado prime $p$ , no hay una única Sylow p-subgrupo . Pero no tengo ni idea de si la línea de argumentos pasa a todos los subgrupos o no ...

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Answer 1

El grupo$\langle x,y \mid x^{p^2} = y^p=1, y^{-1}xy=x^{p+1} \rangle$ del orden$p^3$ es un contraejemplo para todos los primos impares$p$.

Los únicos subgrupos no normales son los conjugados$p$ de$\langle y \rangle$, y el producto de cualquiera de dos de estos es el subgrupo$\langle x^p,y \rangle$.

Agregó : Lo siento, puedo ver ahora que este ejemplo ya ha sido mencionado en los comentarios de James, pero está completamente enterrado en millones de comentarios, por lo que realmente debe ser una respuesta.