Pi, las funciones elípticas lemniscáticas y las funciones elípticas dixonianas

Question

$n=2$

Círculo: $x^2+y^2=c^2$ . Todos conocemos el papel de $\pi$ en el círculo y las funciones trigonométricas,

$$\pi_2 = \color{brown}{B\big(\tfrac12,\tfrac12\big)}=3.1415\dots$$

con el _función beta_ $B(x,y)$ y circunferencia para $D=1$

$$C=\pi_2 = 3.1415\dots$$

$n=4$

Lemniscate: $(x^2+y^2)^2=2c^2(x^2-y^2)$ (o $r^2=2c^2\cos2\theta$ en forma polar):

$\hskip1.4in$

En constante lemniscata $L$ juega un función análoga a $\pi$ ,

$$L =\frac{\color{brown}{B\big(\tfrac14,\tfrac14\big)}}{2\sqrt2}= \frac{B\big(\tfrac12,\tfrac14\big)}{2}= \frac{\sqrt\pi\,\Gamma\big(\tfrac14\big)}{2\Gamma\big(\tfrac34\big)}=\frac{\Gamma^2\big(\tfrac14\big)}{2\sqrt{2\pi}}=2.622057\dots$$

y si $c=1$ ,

$$\text{Arclength} = 2L = 5.2441\dots$$

El periodo medio mínimo $\omega_1$ de la funciones elípticas lemniscáticas es,

$$\omega_1=\frac{L}{\sqrt2}=\frac{\Gamma^2\big(\tfrac14\big)}{4\sqrt{\pi}}$$

$n=3$

¿Objeto? ( $3$ rd o $6$ Sin embargo, parece que nos hemos saltado un paso,

$$\pi_3 = \color{brown}{B\big(\tfrac13,\tfrac13\big)}=2^{1/3}\,B\big(\tfrac12,\tfrac13\big) =\frac{\Gamma^2\big(\tfrac13\big)}{\Gamma\big(\tfrac23\big)}=\frac{\sqrt{3}\,\Gamma^3\big(\tfrac13\big)}{2\pi}=5.29991\dots$$

que convenientemente es la constante fundamental del Funciones elípticas dixonianas .

Q: Lo mismo ocurre con la constante $\pi_3$ desempeñar un papel análogo para algún objeto geométrico similar al círculo y la lemniscata?

Edita: Para aclarar (cortesía de los comentarios de reuns): para saber la longitud de arco de un círculo necesitas $\pi_2$ . Para una lemniscata, se necesita $L$ . ¿Existe algún objeto geométrico sencillo del que para conocer su longitud de arco necesites $\pi_3$ ?

Answer 1

Langer y Singer, en su papel presente el trébol que tiene la ecuación cartesiana

$$(x^2+y^2)^3=2(x^3-3xy^2)$$

y ecuación polar $r^3=2\cos3\theta$ :

$\hskip1.3in$

Utilizando la fórmula normal para determinar la arclitud de una curva polar, su arclitud total resulta de

$$\text{Arclength} =\sqrt{3}\,\pi_3=9.179724\dots$$

Además, también presentan una parametrización de la velocidad unitaria en términos de las funciones de Dixon. Supongamos que $\sigma=\operatorname{sm}\dfrac{s}{\sqrt3}$ y $\chi=\operatorname{cm}\dfrac{s}{\sqrt3}$ tenemos la parametrización arclength

$$f(s)=\begin{pmatrix}\dfrac{3\chi\sigma^4}{2(\chi^3\sigma^3-1)}\\\dfrac{\sqrt{3}\chi\sigma(1+\chi^3)}{2(1-\chi^3\sigma^3)}\end{pmatrix}$$

Véase este documento relacionado también.

Answer 2

Para aclarar mis comentarios:

• Observa la ecuación diferencial $g'(x)^2 = 1-g(x)^n$ . La solución depende únicamente de las condiciones iniciales $(g(0),g'(0))$ . La condición inicial $g(0) = 0$ implica $g'(0) \pm 1$ y dos posibles soluciones reales. Si para algún $x_0 \ne 0$ entonces $g$ es periódica con período $x_0$ o $2 x_0$ .

• Sea $$F_n(z) = \int_0^z \frac{ds}{\sqrt{1-s^n}}, \quad G_n = F_n^{-1}, \quad G_n'(z) = \frac{1}{F_n'(G_n(z))}, \quad G_n'(z)^2 = 1- G_n(z)^n$$ $G_n(x)$ es real para $x$ real y $G_n(0)=0$ por lo que satisface la ecuación diferencial anterior.

• Sea $$\omega_n = \int_{\gamma} \frac{ds}{\sqrt{1-s^n}}$$ donde el contorno $\gamma$ va de $s=0$ encierra el punto de bifurcación $s=1$ en el sentido de las agujas del reloj y vuelve a $s=0$ con la rama de $\sqrt{1-s^n}$ elegida de forma que permanezca analítica en este camino. Entonces con un cambio de variable $s = G_n(u)$ obtenemos $$\omega_n= \int_{0}^{x_0} \frac{G_n'(u)}{\sqrt{1-G_n(u)^n}}du = x_0$$ Dónde $G_n(x_0) = G_n(0) = 0$ y por lo tanto $G_n$ es $2 x_0$ -periódico. Pero la elección de la rama de $\sqrt{1-s^n}$ correctamente, tenemos la otra expresión $$2\omega_n = 2\int_0^1+\int_1^0 \frac{ds}{\sqrt{1-s^n}} = 4 \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1-t^n}}=4 \int_0^1 \frac{v^{1/n-1}dv}{n\sqrt{1-v}}= \frac{4}{n} B(1/2,1/n)$$

• $z \mapsto (G_n(z),G_n'(z))$ parametriza la curva $\{ (x,y) \in \mathbb{C}^2, y^2 = 1-x^n\}$ y el período $2\omega_n$ es la longitud de arco (?) de $\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2, y^2 = 1-x^n\}$ en esas coordenadas.