Se Establece "prime" con respecto al producto cartesiano?

Question

(Motivado por Stefan Perko la pregunta aquí)

Supongamos $C, D$ son dos categorías que $\text{Set} \cong C \times D$. Es $C$ o $D$ necesariamente equivalente a la terminal de categoría $1$?

Aún no lo he pensado mucho, pero mi conjetura es que la respuesta es sí. Considere, por ejemplo, el caso especial en que $C$ $D$ son categorías de poleas en los espacios. Tenemos $\text{Sh}(X) \times \text{Sh}(Y) \cong \text{Sh}(X + Y)$ (donde $+$ denota subproducto), y $\text{Sh}(1) \cong \text{Set}$, por lo que (después de la restricción de la sobriedad espacios) ser capaz de escribir $\text{Set}$ como producto de la gavilla topoi corresponde a la descomposición de la de un punto del espacio de $1$ como distinto de la unión, pero, por supuesto, no trivial de dicha descomposición es posible.

Puedo demostrar que cualquiera de las $C$ o $D$ debe tener un cero de objeto, la cual se instala la pregunta de si $C$ $D$ están obligados a ser topoi.

Answer 1

Supongamos que usted tiene una equivalencia $Set\cong C\times D$ donde $C$ $D$ son tanto trivial. Deje $(0_C,0_D)$ ser un par de objetos correspondiente al conjunto vacío. A continuación, $0_C$ $0_D$ debe ser inicial y debemos contar con que si existen mapas de $c\to 0_C$$d\to 0_D$, $c\cong 0_C$ $d\cong 0_D$ (ya que ningún conjunto no vacío puede asignar al conjunto vacío). En particular, teniendo en $d=0_D$, nos encontramos con que cada objeto de $C$ que se asigna a $0_C$ es inicial, y de manera similar para $0_D$. Desde $C$ $D$ son tanto trivial, podemos elegir los objetos de $c\in C$ $d\in D$ que no inicial. Tenga en cuenta que hay a continuación, no hay mapas $(c,0_D)\to(0_C,d)$, ya que no existen mapas de $c\to 0_C$. Pero esto es imposible, porque $(0_C,d)\not\cong (0_C,0_D)$ $(0_C,d)$ debe corresponder a un conjunto no vacío, y cada conjunto se puede asignar a cada conjunto no vacío.

---

He aquí otro argumento, que es más similar en espíritu a los argumentos de las otras categorías hice en los comentarios de abajo. Deje $(0_C,0_D)$ ser arriba y deje $(1_C,1_D)$ ser el terminal de objeto. Tenga en cuenta que $(1_C,1_D)$ es el subproducto de $(1_C,0_D)$$(0_C,1_D)$. Desde la terminal de objeto de $Set$ no puede ser escrito como un subproducto, a menos que uno de los sumandos es inicial, esto implica $1_C\cong 0_C$ o $1_D\cong 0_D$; supongamos $1_C\cong 0_C$. Entonces para cualquier $c\in C$, ten en cuenta que no es exactamente un mapa de$(0_C,1_D)\cong (1_C,1_D)$$(c,1_D)$. Pero esto significa que como un conjunto, $(c,1_D)$ tiene un punto, por lo que es terminal, por lo $c\cong 1_C$. Así, cada objeto en $C$ es terminal y $C$ es trivial.