Deje $S$ ser un conjunto de no-cero polinomios sobre un campo $F$. Si no hay dos elementos de $S$ tienen el mismo grado, muestran que $S$ independiente es un subconjunto de a $F[x]$.
Traté de demostrar la declaración por inducción sobre el número de elementos de cualquier subconjunto finito de $S$. Por favor, hágamelo saber si mi prueba es correcta o no. Además, hay otro método para demostrar la declaración?
Gracias!
Deje que n sea el número de elementos de un subconjunto finito de S.
Caso Base $n = 1$
$\alpha f = 0 \implies \alpha = 0$ porque $f \ne 0$.
Supongamos que la afirmación es verdadera para $n=k$.
Al $n = k+1$, supongamos $$\sigma= \alpha_1 f_1+....+\alpha_k f_k+ \alpha_{k+1} f_{k+1}=0$$ WLOG, podemos suponer que la $f_{k+1}$ tiene el grado más alto entre todos los $f_i${i=1,2,...,k+1}. Deje $m= \deg f_{k+1}$
Indicar el coeficiente inicial de $f_{k+1}$$\lambda$.
El coeficiente de $x^{m}$ será cero para todos los otros $f_i$.
Tenga en cuenta que el coeficiente de $x^{m}$ $\sigma$ entonces se $$\alpha_{k+1}\lambda=0$$ Por la definición de coeficiente inicial, $$\lambda \ne 0$$. So $$\alpha_{k+1}=0$$ Esto implica $$\alpha_1 f_1+....+\alpha_k f_k=0$$ Por hipótesis de inducción, $$\alpha_1 = \alpha_2=...=\alpha_{k}=0$$ Por lo tanto, $f_1,f_2,....,f_{k+1}$ son linealmente independientes. Por el principio de la M. I., la afirmación es verdadera para todos los números naturales n.
Saludos cordiales, Michael
