Tema de matemáticas examen de GRE 9768 Q.16

Question

La cuestión está en la siguiente imagen:

Y la respuesta es (D).

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En primer lugar estoy de acuerdo con esta respuesta cuando he añadido los dados tres vectores componente sabio,pero cuando he añadido el cuarto componente en los tres vectores de comprendí que es imposible que podamos llegar a 5, así que mi opinión ha cambiado a la opción (a), entonces, ¿cuál es la idea errónea de que tengo o donde es mi forma de pensar equivocada, podría alguien ayudarme por favor?

Answer 1

Puesto que son linealmente independientes los vectores que no sea la con $m$, la pregunta es entonces cuando estos vectores son linealmente dependientes. Esto es equivalente a estudiar la invertibility de la matriz:

$$A(m):= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ m & 1 & 0 & 2 \\ 5 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Es fácil encontrar el determinante:

$$\det A(m) = -\left| \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ m & 1 & 2 \end{matrix} \right| = m-3$$

Esto muestra que una combinación lineal es posible si y sólo si $m-3 = 0$ si y sólo si $m = 3$.

Answer 2

Los vectores son $(0,1,1,1)$, $(0,0,0,1)$ y $(1,1,2,0)$. Puesto que el vector tiene primer componente $1$, Esto obliga a $(1,1,2,0)$ a aparecer con un coeficiente $1$. Esto reduce el problema a $(1,m-2,5)$ $(0,0,1)$ y $(1,1,1)$ (la primera coordenada se olvide). El mismo argumento ahora fuerza $(1,1,1)$ a aparecer con coeficiente $1$, $(0,m-3,4)$ es un múltiplo de $(0,0,1)$, sólo es posible si $m=3$, en cual caso $(0,0,1)$ aparece con coeficiente $4$. Esto le da

$$(1,2,3,5) = (0,1,1,1)+4(0,0,0,1)+(1,1,2,0)$$

Answer 3

La pregunta es la misma que se pregunta por lo $m$ la siguiente ecuación tiene una solución: $$ \begin{pmatrix} 0&0&1\\ 1&0&1\\ 1&0&2\\ 1&1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\\2\\m\\5 \end{pmatrix}\etiqueta{1} $$ Trabajando en vectores columna podría hacer alguna observación más fácil. Tenga en cuenta que (1) es equivalente a $$ x\begin{pmatrix} 0\\1\\1\\1 \end{pmatrix} +y\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1 \end{pmatrix} +z\begin{pmatrix} 1\\1\\2\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\2\\m\\5 \end{pmatrix}\etiqueta{2} $$ Es muy fácil observar que cuando se $m=3$, (2) tiene una solución: $x=z=1$, $y=4$. Esto descarta a,B,C. Para ver $m=3$ es necesariamente verdadero, tenga en cuenta que (2) implica: $$ 0x+0y+1z=1\\ 1x+0y+1z=2\\ 1x+0y+2z=m $$ Para hacer que el sistema lineal consistente, de modo que se tiene una solución, debe tener $1+2=m$ al observar que los coeficientes de las dos primeras filas suman a los de la tercera fila.

Answer 4

La cosa se domina es que en una combinación lineal se le permite multiplicar cada vector por lo que escalar constante que desee.

Esto significa que obtener, digamos, un 5 siempre es posible siempre y cuando al menos uno de los componentes correspondientes no es cero, ya que hay muchos coeficiente de opciones que iba a lograr eso.

La única advertencia real cuando la comprobación de dependencia lineal es que los mismos coeficientes también el rendimiento de los valores correctos para todos los otros componentes al mismo tiempo. Aquí es donde el formalismo con matrices y sistemas de ecuaciones viene muy bien.