¿Por qué dos caracterizaciones de la distribución del arcoseno son equivalentes?

Question

Según Wikipedia la FCD de la dist. del arcoseno es:

$$F(x)=\frac2{\pi}\arcsin(\sqrt{x})=\frac{\arcsin(2x-1)}{\pi}+\frac12$$

Entonces, ¿por qué estos dos son equivalentes?

Gracias de antemano.

Answer 1

Una forma de demostrar esta identidad trigonométrica es $(1)$ demostrar primero que las derivadas de las funciones a ambos lados de la igualdad son iguales, y $(2)$ demostrar que los dos lados son iguales cuando $x=0.$ \begin{align} & \frac d {dx}\,\frac 2 \pi \, \arcsin\sqrt x = \frac 2 \pi\cdot\frac 1 {\sqrt{1 - x}} \cdot \frac d {dx} \sqrt x = \frac 2 \pi \cdot \frac 1 {\sqrt{1-x}} \cdot \frac 1 {2\sqrt x} = \frac 1 \pi \cdot \frac 1 {\sqrt{x - x^2}}. \\[12pt] & \frac d {dx} \, \frac 1 \pi \arcsin(2x-1) = \frac 1 \pi \cdot \frac 1 {\sqrt{1- (2x-1)^2}} \cdot 2 = \frac 2 \pi \cdot \frac 1 {\sqrt{4x-4x^2}} = \frac 1 \pi \cdot \frac 1 {\sqrt{x-x^2}}. \end{align} (Para que sean iguales cuando $x=0,$ por supuesto, hay que añadir $\dfrac 1 2$ a la segunda; eso se omite arriba porque no interviene en la búsqueda de la derivada).

Una forma más convencional (sin cálculo):

\begin{align} \text{Let } u & =\arcsin\sqrt x. \\[10pt] \text{Then } \sin u & = \sqrt x \\[10pt] x & = \sin^2 u \\[10pt] 2x-1 & = 2\sin^2 u - 1 \\ & = -\cos(2u) \text{ (This is the double-angle formula for the cosine.)} \\[10pt] \arcsin(2x-1) & = \arcsin(-\cos(2u)) = - \arcsin(\cos(2u)) \\[10pt] & = \arccos(\cos(2u)) - \frac \pi 2 = 2u - \frac \pi 2 = (2\arcsin\sqrt x) - \frac \pi 2. \end{align}

(Que $\arccos(\cos(2u)) = 2u$ se basa en el hecho de que $2u$ está entre $0$ y $\pi$ .)

Answer 2

Poner $x^2$ para $x$ y utilizar $\cos 2x = \cos^2x-\sin^2x =1-2\sin^2x$ y $\arcsin x+\arccos x =\pi/2$ .

Answer 3

Multiplicar por $\pi$ y tomar el seno:

$$\sin(2\arcsin\sqrt x)=\sin(\arcsin(2x-1)+\frac\pi2)=\cos(\arcsin(2x-1)).$$

Entonces

$$2\sqrt x\sqrt{1-x}=\sqrt{1-(2x-1)^2},$$ y después de la cuadratura,

$$4x-4x^2=4x-4x^2.$$