¿Se conmutan las derivadas parciales contravariantes y covariantes en la RG?

Question

Estoy considerando algo así: $\partial_{\mu}\partial^{\nu}A$ . I siente como deberíamos ser capaces de conmutar las derivadas así: $\partial_{\mu}\partial^{\nu}A = \partial^{\nu}\partial_{\mu}A$ .

Sin embargo, seguramente podemos escribir esto como: $\partial_{\mu}\partial^{\nu}A=\partial_{\mu}(g^{\nu \rho}\partial_{\rho}A)$ donde inmediatamente parece que nos encontramos con problemas ya que la derivada parcial de la métrica es distinta de cero.

Entonces, ¿es cierto que no podemos conmutar las derivadas covariantes y contravariantes en la RG o hay un fallo (bastante probable) en mi lógica?

Nota: Esta misma lógica también parece implicar que $\partial^{\mu}\partial_{\mu}\ne \partial_{\mu}\partial^{\mu}$ Lo que me parece muy extraño.

Answer 1

El conmutador de las derivadas covariantes define el tensor de Riemann, a saber $[\nabla_\mu,\,\nabla_\nu]=R_{\mu\nu\rho\sigma}\nabla^\sigma$ . Contrayendo los índices de la izquierda se obtiene $0$ ya que el tensor de Riemann es antisimétrico en sus índices más izquierdos. Sin embargo, en general, al elevar un índice sin contracción se obtiene un conmutador no nulo para las derivadas covariantes. Por supuesto, como las derivadas covariantes son tensores, también lo son sus conmutadores.

El problema que has encontrado con las derivadas parciales con índices de arriba en realidad proporcionan una motivación para las derivadas covariantes, pero podemos explicarlo con la cuestión aún más simple de cómo se definen estas derivadas. ¿Acaso $\partial^\nu$ , sea lo que sea, actúe aplicando $\partial_\mu$ antes o después de multiplicar por $g^{\mu\nu}$ ? Evidentemente, el problema es que las derivadas parciales no son "compatibles con la métrica", lo que en vista de la ley de Leibniz significa que no aniquilan el tensor métrico, mientras que las derivadas covariantes están diseñadas para hacer exactamente eso.

Answer 2

No deberían conmutar, el hecho de que parezca que sí es un resultado superficial de la notación.

En lo que sigue reescribimos estas derivadas de forma que quede patente que no son lo mismo. La idea es simplemente darles sentido en términos de operaciones que son un poco más globales que desplazar términos en expresiones en un espacio tangente.

Reclamación

Dejemos que $(M, g)$ sea una variedad riemanniana, $f \in C^\infty(M)$ . En algunas coordenadas locales $x^\mu$ definido en abierto $U \in M$ :

$$ \partial_v \partial^\mu f = d\left(~dx^\mu[\nabla f]~\right)[\partial_\nu] $$

$$ \partial^\mu \partial_v f = dx^\mu[~\nabla(~df[\partial_v]~)~] $$

donde

• $d: C^\infty(M) \to \Omega^1(M) \equiv \Gamma(T^*M)$ ( $\Gamma$ denotan el espacio de secciones suaves en un haz) es la diferencial de De Rham.
• $\nabla: C^\infty(f) \to \Gamma(TM)$ es el gradiente habitual, definido por la propiedad

$$ df[v] = \langle\nabla f, v\rangle $$

Prueba de la reclamación es sólo un cálculo directo escribiendo el lado derecho de las expresiones anteriores en componentes. Una identidad útil es la expresión local del gradiente: $dx^\mu[\nabla f] = g^{\mu\nu}\partial_v f$ (que puede demostrar como ejercicio o buscarlo en cualquier texto estándar de geometría de Riemann).

En la suma Si se trata de calcular un laplaciano, la versión correcta es $\partial_\mu \partial^\mu$ Véase, por ejemplo, la breve derivación de la fórmula local para el operador de Laplace-Beltrami en wikipedia .