¿Este problema puede ser generalizado matemáticamente?

Question

He encontrado un acertijo matemático que lo resuelto por el experimento y me gustaría saber ¿hay una fórmula de algún tipo para resolver este tipo de problemas.

Tienes 10 Euros. Usted puede comprar una botella de cerveza por 1 Euro. Usted puede intercambiar 2 botellas vacías para 1 nueva botella llena. ¿Cuál es el máximo número de botellas que usted puede ir a través de su 10 Euros ?

Por medio de un experimento que usted puede ir a través de 19 de botellas para el de 10 Euros.

Pero, ¿hay alguna fórmula para obtener 19 a partir de las condiciones iniciales ? Pensé que tal vez algo relacionado con las secuencias o algún tipo de límite.

Alguna idea?

Answer 1

Una botella es de 50 centavos y la cerveza en botella es también 50 centavos.

Al final tienes una botella vacía a la izquierda, que significa que has gastado 9.50 en la cerveza que bebió.

Con 50 centavos por una cerveza, esto significa que bebía 19 cervezas.

Answer 2

Usted podría expresar esto con secuencias, pero es más elegante no. Básicamente, es importante reconocer que no importa cuando o cómo tienes las botellas vacías - sólo importa cuántos hay y esta idea no necesita secuencias de expresar.

Consideremos la situación después de haber bebido el primer $10$ botellas. En particular, nos vamos a agrupar un montón de acciones consecutivas en uno de los más manejable de acción:

Si usted tiene por lo menos $2$ botellas vacías, usted puede intercambiar $2$ botellas para una completa; después de beber esto, se ha bebido una botella, pero tiene uno menos botella vacía.

Observe que si usted repite este paso $m$ a veces, usted tendrá $10-m$ botellas vacías restantes. El primer $m$ para el cual usted no puede hacer que el cambio sea el primero para que $10-m<2$. La primera de dichas $m$$9$, por lo que usted puede hacer esto $9$ veces.

Entonces, cuando usted agregue esto a la original $10$ botellas llenas, correcta $19$ botellas de cerveza borracho.

Los pasos de esta prueba generalizar bien; si usted comienza con $N$ botellas y pueden intercambiar $a$ vacío para $b$ completo, donde se $b<a$, luego, cuando os $n\geq a$ botellas, se puede beber $b$ más cervezas en el costo de tener $a-b$ menos de cervezas. Usted puede utilizar este paso $m$ tiempos donde $m$ es el primer número entero tal que $N-(a-b)m<a$. Es decir, el primer número entero tal que $m>\frac{N-b}{a-b}$, el cual es dado por $m=\left\lfloor\frac{N-b}{a-b}\right\rfloor+1$. Entonces, el número total de cervezas borracho es $$N+b\left(\left\lfloor\frac{N-a}{a-b}\right\rfloor+1\right)$$ donde $\lfloor\cdot\rfloor$ es la función del suelo, dando el primer número entero menor que el argumento.

Answer 3

Con $n$ € puedes conseguir $2n-1$ cervezas.

• Para $n$ € comprar y beber $n$ cervezas, y ha $n$ de las botellas vacías.
• Luego de tomar dos botellas de $(-2)$, cambiarlos por uno lleno, beber y agregar un vaciado de la botella de la colección de $(+1)$. Ustedes han bebido uno más de la cerveza y te dejan con una botella de menos.
• Mientras que la iteración, se suelta una botella vacía por cada cerveza que bebía.
• Finalmente se detiene con el último single de la botella.

Así se han intercambiado $(n-1)$ botellas vacías para $(n-1)$ cervezas, por lo que se había $n+(n-1)=2n-1$ cervezas y una botella vacía de restos.

Answer 4

El dinero es sólo una cortina de humo aquí. Supongamos que usted comience con las botellas llenas. En lo que sigue, vamos a $[x]$ denotar el `piso" de la función; es decir, $[x]$ es el entero más grande $\leq x$.

En general, sin embargo, muchas botellas llenas de comenzar con, seguir la pista de dos cantidades: $F_{N} = \left[ N / 2 \right]$ total de botellas que se pueden obtener de beber la dada anteriormente por lotes y $$ E_{N} = N - 2 \left[ N / 2 \right] $$ las botellas vacías.

Por lo tanto, en cada iteración uno sigue la pista de $F_{N}$, y la de la suma total de la $E_{N}$'s. Si la suma es $\geq 2$ paso $N$, entonces el adecuadamente muchas de las $\sum_{k=1}^{N} E_{k}$ de las botellas vacías se convierten en el doble par de botellas llenas, que afecta a $F_{N+1}$ y da $$ E_{N+1} = \sum_{k=1}^{N} E_{k} - 2 \left[ \sum_{k=1}^{N} E_{k} \right]. $$

Answer 5

Esta es una respuesta parcial. Supongamos que usted ha $n$ dólares para empezar. Entonces usted puede comprar inicialmente, $n$ botellas de cerveza. Esto le da a usted $n$ de las botellas vacías, las cuales usted puede realizar el cambio hacia la $n/2$ nuevas cervezas. El nuevo cervezas en vez de darle a $n/2$ botellas vacías, los cuales usted puede cambiar hacia la $n/4$ botellas nuevas.

Ignorando el hecho de que el número de botellas son valores enteros, a una primera aproximación tenemos un número total de

$$n + n/2 + n/4 + n/2 + \cdots = 2n$$

las botellas. Desde que comenzó con $n=10$, esta aproximación le dará $20$ total de botellas, que está muy cerca de su actual valor de $19$. El error proviene del hecho de que debemos redondear hacia abajo al entero más cercano en cada paso

$$n + \left\lfloor n/2 \right\rfloor + \left\lfloor n/4 \right\rfloor + \left\lfloor n/8 \right\rfloor + \cdots$$

Esta serie puede (tipo de) ser escrito en forma cerrada. Está dada por

$$n + \left\lfloor n/2 \right\rfloor + \left\lfloor n/4 \right\rfloor + \left\lfloor n/8 \right\rfloor + \cdots = 2n-s_n$$ donde $s_n$ es el número de $1$s en la base-$2$ representación de $n$.

Para nuestro caso, $10=(1010)_2$, por lo que el $s_{10}=2$, y tenemos $2n-s_n = 18$. De nuevo, esto no es exacto, ya que nos olvidamos de la cuenta de resultados cuando tomamos las plantas. Esto sirve como un límite inferior para nosotros. Todo esto hasta ahora muestra que el número real de botellas de $B(n)$ está delimitado por encima y por debajo de

$$2n-s_n \le B(n) \le 2n.$$

Desde $s_n \in \mathcal{O}(\log_2(n))$, $B(n) \sim 2n$ $n\rightarrow \infty$ (para los bebedores pesados).

Puede ser difícil obtener un grano más fino respuesta de este, ya que dependerá de las propiedades de la divisibilidad de $n$. Por ejemplo, tendremos $B(2n) = 2n-1$ exactamente para $n=2^k$. Ciertamente, no esperar una buena forma cerrada fórmula para $B(n)$.