¿Por qué usamos radianes para coordenadas polares en lugar de grados?

Question

¿Hay alguna razón específica por la que los radianes deben usarse al convertir de coordenadas cartesianas a polares, es solo una convención o realmente no importa en absoluto?

Answer 1

Si te preguntara "¿Qué es un grado?", ¿podrías decir algo más que "Hay 360 grados en una revolución"? Y luego te preguntaría "¿Por qué 360? ¿Por qué no 100? ¿Por qué no 17? ¿Hay algo natural en 360?"

Por otro lado, los radianes son una medida natural de un ángulo. Dado un ángulo, forma un círculo (de cualquier radio que desees) centrado en el vértice del ángulo. La medida en radianes del ángulo es exactamente el número de veces que la longitud del radio encaja en el arco del ángulo. Es independiente del radio que elijas.

Cuando los ángulos se miden en radianes, también tienes relaciones agradables entre las funciones trigonométricas como $$(\sin \theta)' = \cos\theta$$ $$(\sin \theta)'' = -\sin \theta$$

Answer 2

Los radianes proporcionan una buena asociación entre el área de una sección de un círculo y el tamaño del ángulo. es decir, $A = \frac 12 r^2 \theta.$ También se comportan bien con las longitudes de arco. $C = r\theta$

Así que si tienes algo como una rueda giratoria, y quieres saber la distancia que se ha movido una correa adjunta a esa rueda, entonces la rotación en radianes evita un factor de conversión. Esto hace que los radianes sean útiles para problemas en física e ingeniería.

Pero el mayor beneficio de esta asociación entre la longitud de arco y los radianes aparece cuando $\theta$ es pequeño. Para $\theta$ pequeño, $\sin\theta \approx \theta.$ Y eso es realmente importante cuando llegas al cálculo. Una vez que comienzas el cálculo, te preguntarás por qué pensaste que los grados eran más fáciles.

Realmente no hemos hablado de coordenadas polares. Y, honestamente, no hay ninguna razón por la que no puedas usar grados cuando trabajas con coordenadas polares. Y muchas aplicaciones del "mundo real" utilizan grados y coordenadas polares. Los problemas de navegación, por ejemplo, casi siempre se hacen en grados y son efectivamente problemas en coordenadas polares.

Tus profesores quieren que uses radianes para estar más cómodo con ellos cuando llegue el momento en que los grados sean ineficientes.

Answer 3

El radián tiene un significado geométrico, es la razón entre la longitud del arco y el radio de la circunferencia.

Otras medidas de ángulo tienen escalas arbitrarias, por lo que los valores numéricos en grados o grados centesimales no tienen un significado especial.

Tal vez debido a su definición más 'natural', al usar radianes, encontramos derivadas elegantes y series de potencias para las funciones trigonométricas (exponenciales también, debido a la fórmula de Euler).

Answer 4

1. Facilita el cálculo de longitudes de arcos circulares: no se necesita un factor de conversión como $\pi/180$.

2. Hace que la serie de Taylor para funciones como $\sin$ y $\exp$ se vea más limpia.

Pero sí, es una convención.

Answer 5

La razón principal es que las derivadas de las funciones sinusoidales solo funcionan si los ángulos se miden en radianes.