Que $f(x)$ sea un polinomio en $\mathbb{Z}[x]$. Definir S(\alpha) $$ = \sum_{1 \leq n \leq N} \Lambda(n) e ^ {2 \pi i f (n) \alpha}. $$ me preguntaba ¿cómo se obtiene eso $$ \left (\int_0^1 S(\alpha) \ \alpha \right)^2 \leq d (\log N) ^ 2 \ T(N), $$ $T(N)$ ¿Dónde está el número de $(n,n') \in [1,N]^2$ tal que $f(n) = f(n')$? ¡Gracias!
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El uso de la de Cauchy-Schwarz desigualdad tenemos $$\left|\int_{0}^{1}S\left(\alpha\right)d\alpha\right|^{2}\leq\int_{0}^{1}\left|S\left(\alpha\right)\right|^{2}d\alpha=\sum_{n\leq N}\Lambda\left(n\right)\sum_{n'\leq N}\Lambda\left(n'\right)\int_{0}^{1}e^{2\pi i\left(f\left(n\right)-f\left(n'\right)\right)\alpha}d\alpha $$ (note that we have to take the modulus because we are working with complex numbers). We have $f\in\mathbb{Z}\left[x\right] $, so by the orthogonality of the exponential function, i.e. $$\int_{0}^{1}e^{2\pi i\left(f\left(n\right)-f\left(n'\right)\right)\alpha}d\alpha=\begin{cases} 1, & f\left(n\right)=f\left(n'\right)\\ 0, & \textrm{otherwise} \end{casos} $$ we have $$\left|\int_{0}^{1}\left(\alpha\right)d\alpha\right|^{2}\leq\sum_{n\leq N}\Lambda\left(n\right)\sum_{\underset{{\scriptstyle f\left(n\right)=f\left(n'\right)}}{n'\leq N}}\Lambda\left(n'\right)\leq\log^{2}\left(N\right)T\left(N\right) $$ por la definición de los Von Mangoltd función.
