Valor esperado de pares de calcetines

Question

Supongamos que $N$ pares de calcetines se ponen en una lavadora, con cada calcetín de tener un compañero. Si la lavadora al azar come los calcetines, y al final del lavado devuelve un número aleatorio $K$ de calcetines donde $0 \leq K \leq 2N$, donde cada una de las $K$ es igual de probable, ¿cuál es el número esperado de completar pares de devolución de los calcetines?

Sólo a partir de la elaboración de las primeras valores de $N$, suponemos que la respuesta es $N/3$, pero no estoy seguro de cómo demostrar que para todos los valores de $N$.

Para ser claros, este es el valor esperado para un número infinito de ensayos, donde cada una de las $K$ es igualmente probable, no el valor esperado para un número infinito de ensayos donde $K$ es fijo, con lo cual la respuesta es $\displaystyle{K \choose 2}/(2N-1)$.

Answer 1

Que $X$ sea el número de pares de calcetines que haz vuelto.

Ya sabes que $\mathbb{E}[X|K] = \dfrac{1}{2N-1}\dbinom{K}{2}$ y que $K \sim \text{Uniform} \ \overline{0,2N}$

Así, $\mathbb{E}[X] = \mathbb{E}[\mathbb{E}[X|K]] = \mathbb{E}\left[\dfrac{1}{2N-1}\dbinom{K}{2} \right] = \dfrac{1}{2N-1}\displaystyle\sum_{k = 0}^{2N}\dfrac{1}{2N+1}\dbinom{k}{2}$ $= \dfrac{1}{(2N-1)(2N+1)}\dbinom{2N+1}{3} = \dfrac{1}{(2N-1)(2N+1)}\dfrac{(2N+1)(2N)(2N-1)}{6} = \dfrac{N}{3}$.

Answer 2

Vamos variable aleatoria $X_i$ $1$ si $i$-ésimo par sobrevive a la lavadora, y deje $X_i=0$ lo contrario. A continuación, el número de $Y$ de los sobrevivientes de los pares está dado por $Y=X_1+X_2+\cdots+X_N$. Por la linealidad de la expectativa que hemos $E(Y)=E(X_1)+E(X_2)+\cdots +E(X_N)$.

Necesitamos encontrar a $E(X_i)$. Por una esperanza condicional argumento, esto es $$\frac{1}{2N+1}\sum_0^{2N} E(X_i|K=k).\tag{1}$$ Si $k\ge 2$ calcetines de sobrevivir, la probabilidad de que el par $i$ ¿ es la probabilidad de la izquierda, los calcetines, los tiempos de la probabilidad de la derecha con los de la izquierda, que es, $\frac{k(k-1)}{2N(2N-1)}$.

Agregar, $k=2$$N$. Por un resultado estándar, la suma (1) es igual a $$\frac{1}{2N+1}\cdot \frac{1}{2N(2N-1)}\cdot 2\binom{2N+1}{3}.$$ Multiply by $$ N de la expectativa.

Simplificar. No es bonito cancelación, y llegamos $\dfrac{N}{3}$.