Condicionar a un evento con probabilidad cercana a uno

Question

Dejemos que $(\Omega,\mathcal{F},P)$ sea un espacio de probabilidad. Si $A\in\cal F$ es un evento con $P(A)=1$ entonces $$ P_{\mid A}(B)=P(B\mid A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}=P(B),\quad B\in\cal F. $$ Me pregunto si se puede decir algo sobre lo "cercano" $P_{\mid A}$ y $P$ son, cuando $A\in\cal F$ es un evento con probabilidad cercana a $1$ y también lo que debería significar "cerca".
Por ejemplo, si $P(A)=p$ y digamos que $p=0.99$ ¿podemos dar un límite superior no trivial a la distancia máxima $$ \sup_{B\in\cal F}|P_{\mid A}(B)-P(B)| $$ en términos de $p$ ? ¿Y podrían ser interesantes otros tipos de distancias?

Esto es sólo una idea mía, así que cualquier cosa que puedas añadir será apreciada. Gracias.

Answer 1

Por cada $B$ , $\mathbb P(B\mid A)-\mathbb P(B)=b(1-a)/a-c$ con $a=\mathbb P(A)$ , $b=\mathbb P(B\cap A)$ y $c=\mathbb P(B\setminus A)$ . Desde $0\leqslant b\leqslant a$ y $0\leqslant c\leqslant 1-a$ , $$ -(1-a)\leqslant -c\leqslant \mathbb P(B\mid A)-\mathbb P(B)\leqslant b(1-a)/a\leqslant 1-a. $$ El límite $1-a$ se logra para $B=A$ Por lo tanto $$ \sup\limits_{B\in\mathcal F}\,|\mathbb P(B\mid A)-\mathbb P(B)|=1-\mathbb P(A). $$