¿Cuál es el propósito de los sets? ¿Por qué los utilizamos?

Question

Todo está en el título. ¿Por qué los conjuntos? ¿Por qué los necesitamos y dónde son importantes?

Answer 1

La importancia de los conjuntos es una. Nos permiten tratar un colección de objetos matemáticos como objeto matemático por derecho propio.

Para tratar con colecciones finitas de objetos, podemos mover de alguna manera los conjuntos. Simplemente especificamos nuestros objetos. Así que no es difícil ver que, por ejemplo, no hay una correspondencia unívoca entre una colección de cinco objetos y una colección de cuatro objetos. De hecho, ni siquiera tienes que usar las matemáticas. Sólo tienes que cortarte el pulgar derecho 1 y usar las manos para ver eso.

Sin embargo, demostrar que se puede escribir una biyección entre los números racionales y los enteros es muy poco intuitivo sin el desarrollo básico de los conjuntos y la teoría de conjuntos. Utilizando esto, por ejemplo, podemos desarrollar otros objetos, como la construcción de una función que es continua en casi todas partes, pero su conjunto de puntos de discontinuidad es un conjunto denso.

¿Por qué es importante para empezar? Bueno, en una época ya desaparecida de nuestras mentes las matemáticas carecían de rigor. El concepto de "función" estaba mal definido. Cuando se definió algo mejor, la gente pensaba que todas las funciones son continuas, y continuamente diferenciables, y así sucesivamente. O, al menos, diferenciables a trozos. Luego vinieron los contraejemplos en forma de la función de Weierstrass, y así sucesivamente, que mostraron a la gente lo importante que es tener definiciones concretas.

Los conjuntos nos permiten desarrollar teorías matemáticas formalmente, al tener las colecciones de las que queremos hablar como objetos matemáticos por sí mismos. Por supuesto, puedes argumentar "Bueno, ¿y si no se llamara conjunto?", pues bien, en matemáticas lo que importa es la definición, más que el nombre. Si lo hubieras llamado "Impresionante Bolsa de Misterios" y sus propiedades siguieran siendo las mismas que las de los conjuntos, entonces habrías tenido conjuntos.

De hecho, un conjunto es una increíble bolsa de botín misterioso. Es una colección matemática que "existe", en el sentido matemático de la palabra. Y una vez que nos dimos cuenta de que los conjuntos necesitan algunas definiciones básicas por sí mismos, escribimos axiomas y acordamos que esas son propiedades razonables que deben tener los conjuntos.

A mucha gente, por supuesto, no le importa y no necesita la teoría axiomática de conjuntos 2 . La teoría ingenua de conjuntos, bajo la suposición de que "casi todas las colecciones son conjuntos, y seguramente todas las colecciones que me interesan son conjuntos", funciona bien para el matemático general. Y eso está bien. Pero la capacidad, dentro de una prueba, de trabajar con una colección de objetos matemáticos como un objeto matemático en sí mismo es algo maravilloso. Y esa es la verdadera importancia de los conjuntos.

(Y ni siquiera he empezado a hablar de cómo los conjuntos nos permiten convertir todo en de primer orden utilizando $\sf ZFC$ o alguna extensión de la misma, y cómo eso nos ayuda realmente cuando queremos demostrar cosas; porque eso requeriría que incluyéramos la lógica y la teoría de modelos en el juego. Pero ese es otro punto, que se podría argumentar que se puede hacer sin conjuntos, de alguna manera. Aunque no estoy seguro de cómo).

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Notas a pie de página:

1. Si ya te falta un dedo, no tienes que hacerlo; si te faltan más, corta el pulgar de la mano de otra persona. 3

2. Véase el reciente debate sobre las teorías de conjuntos ingenuas y axiomáticas: Diferentes tipos de Teoría de Conjuntos .

3. ¡No le cortes el pulgar a nadie!

Answer 2

Los conjuntos son útiles porque son increíblemente generales por su propia naturaleza. No es de extrañar: ¿qué concepto es más general y básico que la idea de agrupar varias cosas en un conjunto?

El punto de partida de cualquier matemática son las definiciones, y sin los conjuntos nos sería difícil dar definiciones de la mayoría de los objetos matemáticos (o más bien, probablemente acabaríamos utilizando los conjuntos implícitamente en nuestras definiciones). Dado que los utilizamos en todas partes, podemos unificar prácticamente todas las matemáticas si fijamos una noción constante de lo que es un conjunto, proporcionando así una única teoría subyacente a todas las matemáticas. Si no formalizáramos la noción de conjunto, tendríamos una colección de teorías matemáticas basadas todas ellas en definiciones que implican implícitamente a los conjuntos, y los estudiantes estarían en math.SE preguntando si podría haber alguna manera de formalizar la noción de conjunto para que estas definiciones intuitivamente relacionadas de forma obvia se puedan relacionar de forma rigurosa.

He aquí algunas definiciones basadas en conjuntos:

1. Funciones . Una función es básicamente una regla que asigna números a otros números. ¿Pero qué significa "una regla"? Es bastante vago - es $2x$ la misma regla que $2x+1-1$ ? Son reglas diferentes en el sentido de que se calculan de forma distinta, pero siempre dan el mismo resultado. De ahí que definamos una función como set de pares ordenados (si estás estudiando teoría de conjuntos, supongo que estás familiarizado con esta definición).
2. El dominios de funciones . Así que una función mapea números a números, pero el mismo concepto de una regla que mapea cosas a cosas aparece por todas partes. Operadores como la integral o el límite asignan funciones a números, operaciones en grupos asignan elementos abstractos de grupos a otros elementos, otras funciones extrañas pueden asignar clases de equivalencia de secuencias infinitas a conjuntos infinitos de números racionales, etc. De nuevo, es evidente que todo esto es básicamente la misma idea: una regla que mapea cosas a cosas. Pero no se puede precisar lo que significa "cosas" a menos que se tenga una noción matemática de un conjunto arbitrario.
3. ¿Cómo podemos tener cosas como estructuras algebraicas o espacios topológicos ¿sin conjuntos? Una estructura algebraica es una set junto con las operaciones que se realizan en él. El conjunto poder del álgebra moderna es que puede aplicarse a un conjunto de cualquier cosa, siempre que las operaciones obedezcan a ciertas reglas. Lo mismo ocurre con los espacios topológicos.

La última es probablemente la más importante. El poder de las matemáticas modernas es que podemos construir teorías que pueden aplicarse a cualquier colección de cosas que obedezca ciertas reglas, pero eso sólo es posible si se tiene una noción matemática de una colección arbitraria de cosas.

Answer 3

La finalidad de los conjuntos es albergar una colección de objetos relacionados. Son importantes en todas las matemáticas, ya que todos los campos de las matemáticas utilizan o se refieren a los conjuntos de alguna manera. Son importantes para construir estructuras matemáticas más complejas. Por ejemplo, el conjunto ordenado $(x_1, x_2, x_3)$ de tres puntos forma un vector en $\Bbb{R}^3$ si $x_i \in \Bbb{R}$ . No pude pasar por esa definición sin referirme a otro conjunto $\Bbb{R}$ .

Los conjuntos pueden tener propiedades algebraicas o topológicas útiles.

Answer 4

A juzgar por tu nombre, no te asusta un poco (léase: mucho) la abstracción. Así que voy a abordar el espíritu de la pregunta, aunque no estoy de acuerdo con la premisa subyacente.

Los conjuntos eran un artificio útil que quizá haya sobrevivido a su papel como objetos fundamentales de las matemáticas. Son un elemento muy útil categoría (y muchas otras categorías útiles admiten funtores de olvido a Establecer ), pero parece que el concepto fundamental del día es el topos .

John Baez tiene una suave introducción a la teoría de los topos aquí . Un topos es un tipo de categoría que tiene lo justo de la estructura de Establecer para ser realmente poderoso.

Answer 5

( Observación preliminar. Existe un subcampo de las matemáticas llamado teoría de conjuntos . En lo que sigue asumo que su pregunta no se refiere a este campo, ni a las implicaciones lógicas de varios sistemas de axiomas considerados en la teoría de conjuntos).

El objetivo de cualquier ciencia particular es poner "orden", o "estructura", en las cosas o fenómenos observados. Esto se consigue inventando "nociones" y observando o inventando "leyes".

Tomemos como ejemplo la biología: A la vista del mundo viviente que nos rodea, uno se ve llevado rápidamente a distinguir "plantas" y "animales". Más adelante se reconoce que la noción de "célula" es muy importante para comprender lo que ocurre en el ámbito de la vida. "Comprender" significa que la descripción de la totalidad que observamos puede reducirse en gran medida (en términos de kilobytes) apelando a "nociones" acordadas y a "principios generales" pensados en marcha.

El ámbito de las matemáticas es, por supuesto, espiritual; pero se aplica el mismo impulso. Sólo en una etapa tardía de la historia de las matemáticas se puso de manifiesto que la noción de "conjunto" es un "Beschreibungselement" extremadamente útil para tratar los fenómenos matemáticos.