Sistema de ecuaciones con polinomios.

Question

Que $p(x)$ sea un polinomio con coeficientes reales y $\deg p \le 2$. Demostrar eso si

$$\sum_{x=1}^n p(x) = \sum_{x=1}^n xp(x) = \sum_{x=1}^n x^2p(x) = 0$$

para algún entero positivo $n$, entonces sigue %#% $ #%

He intentado encontrar explícitamente las sumas usando $$\sum_{x=1}^n x^3p(x)=0$ y luego usando suma de fórmulas de alimentación $p(x) = ax^2+bx+c$ th para simplificar, pero parece muy feo. ¿Hay una buena manera de ir sobre esto?

Answer 1

Si $n=1$ o $n=2$ se deduce de inmediato que $p(k)=0$$k=1 \dots n$$\sum_{k=1}^{n} k^3 p(k) = 0$.

Para $n \ge 3$ el resultado se sigue de la más fuerte de la proposición tomada de la AMM problema 11886, pidió y probado a hablar de la desigualdad de los diferentes métodos de...

Deje $n\ge 3$, y deje $y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}$ ser números reales tales que a$2y_{k+1}\le y_{k}+y_{k+2}$$1<k\le n-2$. Supongamos, además, que $\sum_{k=1}^{n}y_{k}=0$. Demostrar que $$\sum_{k=1}^{n}k^2y_{k}\ge (n+1)\sum_{k=1}^{n}ky_{k}$$

($\dagger$) con igualdad de iff $y_k$ es una progresión aritmética con cero significa decir $y_k = m(k - \frac{n+1}{2})$ algunos $m \in \mathbb{R}$.

($\dagger$) La igualdad caso no está bien explicado en el post vinculado, pero que sigue observando que las desigualdades que ser estricta a menos que $2y_{k+1} = y_{k}+y_{k+2}$ para $\forall k$ es decir, la secuencia es lineal.

Para ver cómo la anterior se refiere a la cuestión aquí, en primer lugar observamos que, dado $p(x)=a x^2 + b x + c$ se puede suponer WLOG que $a \ge 0$, de lo contrario, simplemente reemplace$p(x)$$-p(x)$.

A continuación, $p(x)$ es una función convexa, lo $y_k = p(k)$ es un convexo de la secuencia de lo que $y_{k+1} \le \frac{1}{2}(y_k+y_{k+2})$.

Por lo tanto, las condiciones para la AMM, 11886 están satisfechos, y con $\sum_{k=1}^{n}k y_k = \sum_{k=1}^{n}k^2 y_k = 0$ la desigualdad se reduce a la igualdad caso de $0=0$. De ello se desprende que $y_k$ debe ser una progresión aritmética, por lo $p(x)$ debe ser una función lineal es decir $a=0$. Sustituyendo $y_k = bk+c$ en $\sum_{k=1}^{n}k y_k$ = $\sum_{k=1}^{n}k^2 y_k = 0$ da $b=c=0$. Esto demuestra que $p(x) \equiv 0$ y, por tanto,$\sum_{k=1}^{n} k^3 p(k) = 0$.

P. S. Como un comentario, la solución directa (explícitamente a calcular la suma, a continuación, mostrar que el $\text{3x3}$ hecho determinante de los coeficientes de $a,b,c$ no$0$) es probablemente más fácil y más natural.