¿Existencia de delimitada función analítica en el dominio sin límites?

Question

Dado cualquier adecuado abierto conectado sin límites set $U$ $\mathbb C$. ¿Siempre existe una función analítica limitada no constante $ f\colon U \to \mathbb C$?

Edición: $U$ es un dominio arbitrario. No tengo idea de hacerlo. Por favor ayuda.

Answer 1

No no siempre. Tomar el $ U= \mathbb{C} \setminus \{0\}$. Asumir una función analítica limitada $U$. Como limita sólo puede tener una singularidad removible en $0$. Así se extiende a una función entera, que debe ser constante.

Por otro lado si el cierre de $U$ no es todo de $\mathbb{C}$ tomar un $z_0$ fuera de la clausura de $U$ y considere $(z-z_0)^{-1}$.

Esto no es una clasificación completa de todos los $U$, pero no pides para esto.

Answer 2

No. Tomar $U=\mathbb{C}\setminus \{p\}$ y tomar foliaciones de #% limitada de $f$% #%. Entonces podemos extender $U$ en el plano complejo entero (un punto es removible), pero siendo limitada y todo, $f$ tiene que ser constante.

Answer 3

Tomar el $f(z) = {1 \over z} $ $U=\{z \mid |z|>1 \}$.

Este ejemplo puede ampliarse a cualquier $U$ tal que $U^c$ contiene un conjunto abierto.