si $x_{n+1}=ax_{n}+b$ entonces Cómo encontrar esto $a,b,c$ ?

Question

Pregunta:

Sea una secuencia $x_{n}$ tal que $$x_{n+1}=ax_{n}+b,,x_{1}=c$$ donde $a,b$ y $c$ son enteros positivos.

Supongamos también que para $n,m\in \mathbb{Z^{+}}$ tenemos que $$ \text{(*) } ~~~n\mid m\implies x_{n}|x_{m} $$

lo demuestran: $$b=c$$

Mi intento: si $a=1$ entonces tenemos $$x_{n+1}-x_{n}=b,x_{1}=c\Longrightarrow x_{n}=c+(n-1)b=bn+c-b$$ Así que si $n|m$ entonces $m=nk$ Así que $$\dfrac{x_{m}}{x_{n}}=\dfrac{bkn+c-b}{bn+c-b}=k+\dfrac{c-b-kc+kb}{bn+c-b}\in N^{+}$$ ¿Cómo puedo encontrar $a,b$ y $c$ ?

Caso $2$ : si $a\neq1$ entonces tenemos $$x_{n}+\dfrac{b}{a-1}=a(x_{n}+\dfrac{b}{a-1})$$ Así que $$x_{n}=\left(c+\dfrac{b}{a-1}\right)a^{n-1}-\dfrac{b}{a-1}$$

Por cierto:

Hace algún tiempo, resolví el siguiente problema difícil: (IMO shorsits)

Si $a,b\in \mathbb{Z^{+}}$ y para cualquier número entero positivo $n$ tenemos $$\dfrac{a^n-1}{b^n-1}\in N^{+}$$

Entonces también debemos tener que existe algún número entero positivo $k$ para que $a=b^k$

Entonces no puedo, gracias.

Este problema fue creado por un estudiante del equipo China IMO.

Answer 1

Voy a replantear el problema y dar una respuesta parcial:

Encontrar todos los triples enteros positivos $a, b, c$ tal que la secuencia aritmética $$ x_n = a x_n + b; x_1 = c $$ tiene la propiedad de que $n | m \implies x_n | x_m$ .

Supongamos que la secuencia tiene esta propiedad. Consideremos entonces el caso $n = 1$ que divide a cualquier otro número $m$ obtenemos que $x_1 | x_m$ para cada $m$ . En particular, el número $c = x_1$ debe dividir $x_2 = ac + b$ Eso significa que $$ c | b. $$ ¿Qué pasa con $x_3$ ? Eso $$ x_3 = a(ac + b) + b = a^2 c + ab + b $$ que también es divisible por $c$ (ya que $ac$ y $b$ ambos lo son). Un simple argumento de inducción demuestra que $c | x_n$ para cada $n$ una vez que sepamos que $c | b$ .

Lo anterior es una versión más limpia de lo que escribí antes. Pero $c | b$ aunque necesaria, no es condición suficiente. Examinémoslo más detenidamente. Tenemos $$ x_4 = a^3 c + a^2 b + ab + b = a^2(ac + b) + (a+1)b $$ que debe ser divisible por $x_2 = ac + b$ . Por lo tanto, debemos tener $(ac + b) | (a+1) b$ . Escribir $b = sc$ obtenemos $(ac + sc) | (a+1) sc$ Así que $(a + s) | (a+1)s$ Así que $(a + s) | (as + s)$ .

Así que sólo usando los primeros términos, encontramos que

(1) $c | b$ . Escribir $b = cs$ también tenemos

(2) $(a+s) | (as + s)$

Así que esas son un par de limitaciones en $a, b, c$ .

Answer 2

La forma actual (7/16/2014, 2PM EDT) del problema dice que si $$ x_{n+1} = a x_{n} + b; x_0 = 0; x_1 = c, $$ y se cumple la siguiente propiedad de divisibilidad: $$ n | m \implies x_n | x_m, $$ entonces debemos demostrar que $b = c$ .

Esto es trivial; se introduce $n = 0$ a la recurrencia para obtener $$ x_{1} = a x_{0} + b; x_0 = 0; x_1 = c, $$ Sustitución de $x_0$ con $c$ se convierte en $x_1 = b$ ya que $x_1$ es también $c$ tenemos $c = b$ .

Te sugiero que pienses muy bien el enunciado de tu problema e intentes reescribirlo; seguro que estás intentando preguntar algo más interesante que esto.