En primer lugar, si no me equivoco al entender su pregunta, ¿pregunta por qué es necesario regular las teorías de campo ya que las renormalizamos de todos modos?
Asumiendo esto, esto es lo que entiendo:
La teoría cuántica de campos en general tiene varias divergencias, con las que debemos lidiar. Las divergencias se superan tratando con cantidades renormalizadas. ¿Pero cómo se renormaliza la teoría? Esencialmente (sin entrar en demasiados detalles), la afirmación es que las cantidades en QFT a menudo tienen infinitos. Sin embargo, si calculamos la cantidad "correcta" (hay que ser más específico sobre lo que es correcto y lo que no, esa es una pregunta un poco más difícil de responder), los infinitos se cancelan. Pero no se puede decir simplemente $\infty - \infty = \text{finite}$ . Eso no tiene sentido. Hay que describir la forma precisa de la divergencia. Esto implica hacer la $\infty$ más precisa, escribiéndola como $\infty = \lim\limits_{\Lambda \to \infty} \log \Lambda$ o $\infty = \lim\limits_{\epsilon \to 0} \frac{2}{\epsilon}$ etc. El proceso de caracterizar los infinitos de esta manera es la regularización. Una vez hecho esto, la expresión $\infty - \infty$ ahora tiene todo el sentido.
Vemos que la regularización es un proceso esencial en la renormalización de una teoría. ¡Bien!
(Permítame hacer otro comentario sobre la declaración de simetría que hizo en su pregunta) El problema de introducir reguladores es que a menudo el regulador utilizado puede no satisfacer todas las simetrías de su teoría, en cuyo caso tenemos anomalías cuánticas. Hay que tratarlas después de regular la teoría.
En cuanto a su comentario sobre los contratemas que anulan sorprendentemente las divergencias, diré lo siguiente: No es tan sorprendente. De hecho, los contraterms se introducen a mano en la acción específicamente para cancelar todas esas divergencias. Sin embargo, lo que puede ser sorprendente es que en algunas teorías (llamadas teorías renormalizables) un número finito de contraterms es todo lo que necesitas para cancelar todas las divergencias y que todas las divergencias pueden ser barridas bajo la alfombra redefiniendo tus campos desnudos y acoplamientos. Aunque esto es un poco no trivial de ver, un simple recuento de dimensiones de las divergencias hace que sea fácil de ver (al menos en el nivel de 1 bucle). Para la mayoría de las otras teorías (no renormalizables) no hay un número finito de contratermas y uno tiene que modificar la acción introduciendo un número infinito de contratermas y operadores.
Sin embargo, dejando de lado la discusión técnica, si la QFT ha de ser una buena teoría de la naturaleza, uno DEBE obtener respuestas finitas a partir de ella y DEBE haber suficientes contrapartidas para cancelar todas las divergencias. O bien esto sucede por sí mismo (teorías renormalizables) o tenemos que imponerlo como condición y modificar nuestra teoría para acomodar todas las divergencias (teorías no renormalizables)
