¿Cuál es la probabilidad de escoger todas las bolas azules?

Question

Tenemos una bolsa llena de bolas (digamos n bolas). No podemos ver el interior de la bolsa, pero estamos seguros de que sólo un cierto número de ellos son de color azul (digamos r). Si queremos elegir al azar la mitad del total de bolas en la bolsa, ¿cuál es la probabilidad de que se han seleccionado todas las bolas de color azul en nuestra muestra?

Aquí es lo que yo pienso de esto. Si el número de bolas en la bolsa son mucho más grandes que el número de bolas azules. No puedo pensar en todas las bolas de color azul como un paquete único y el grupo de otras bolas en grupos con el mismo tamaño. A continuación, el prroblem se reduce a: ¿cuál es la probabilidad de seleccionar el paquete azul entre la selección de la mitad del total de grupos, la cual es igual a:

$${(m-1)\over ^m C_{m/2}} = {{m\over 2}! {m\over 2}!\over m \times (m-2)!}$$

donde m es el número de grupos. Esto converge a la exacta solutiuon cuando m es grande. Pero aún así estoy seguro acerca de la exacta solutiuon de este problema. Agradezco el compartir sus pensamientos y comentarios.

Answer 1

Se trata de un típico cerebro teaser. Invertir la pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de las bolas de color azul son los que sobresalen de la bolsa?

De repente es fácil de responder! $$\frac{n-r}{n}\frac{n-r-1}{n-1}\dots\frac{n-m+1-r}{n-m+1}=\frac{(n-m)!(n-r)!}{n!(n-r-m)!}$$

Que tire la primera bola, y no es azul. Cómo es la probabilidad? $\frac{n-r}{n}$ Así, se siguen tirando de ellos hasta que consiguió $m$ bolas, y ninguna de las bolas de color azul mostró todavía. Y se obtiene la respuesta de arriba, que es también la respuesta a la pregunta original donde $m=n/2$. gracias a @Bridgeburners comentario

He aquí por qué esto funciona. El problema original es formulado en términos de las bolas que se han extraído (escogido) de la bolsa: queremos que todas las bolas de color azul. Se muestra en la imagen de abajo.

Sin embargo, la siguiente imagen muestra que la respuesta tiene que ser la misma en los términos de la invertida problema acerca de que todas las pelotas en rojo, es decir, ninguna de las bolas de ser azul. Por lo tanto, si la pregunta es acerca de la probabilidad de todos los $r$ azul bolas de ser elegido en el grupo de $k$ bolas, entonces es equivalente a una pregunta acerca de la probabilidad de $m=n-k$ bolas que se quedaron en la bolsa después de $k$ bolas se retiran de ella. Por lo tanto, en términos de la $k$ bolas la misma respuesta puede ser escrita como: $$\frac{k!(n-r)!}{n!(k-r)!}$$

Para resumir, la solución es muy sencilla e intuitiva, si re-formular el problema en términos de la unchosen bolas de ser todos de color rojo.

Answer 2

Esto puede ser reducido a una combinatoria problema. Vamos a hacer un poco más general.

Supongamos que usted ha $n$ bolas, de los cuales, $r$ azul. Seleccione $k,$ donde $k > r.$

¿Cuál es el número total de maneras en que usted puede seleccionar $k$ bolas de $n?$

Entonces, ¿cuál es el número total de maneras en que usted puede seleccionar $k$ bolas de $n,$ donde $r$ de la $k$ bolas son necesariamente las bolas de color azul?

Dividir la respuesta última por la primera, y que ya tiene su respuesta.

ACLARACIÓN: La respuesta es fácil si en la segunda parte se piensa en todas las bolas de color azul como un solo paquete. Entonces a este último punto, supongamos que ya hemos seleccionado este paquete azul. Cuál es el otro combinaciones posibles? La respuesta sería la elección de k-r (no k, porque ya hemos seleccionado todos r las bolas de color azul y la puso a un lado) de n-r bolas restantes. En resumen, la probabilidad de que se han seleccionado todas las bolas de color azul en nuestra k de la muestra es igual a

$${^{n-r}C_{k-r}\over ^n C_k} = {(n-r)! k! \over (k-r)! n!}$$. For the special case of k=n/2 we have

$${^{n-r}C_{{n\over 2}-r}\over ^n C_{n\over 2}} = {(n-r)!{n\over 2}!\over ({n\over 2} -r)! n!}$$