Encontrar una operación binaria en un conjunto de elementos de $5$ cumpla ciertas condiciones y que no define un grupo de

Question

Estoy trabajando a través de un grupo de la teoría del libro de texto y estoy teniendo problemas con esta pregunta.

Encontrar una operación binaria sobre un conjunto de $5$ elementos que hay un elemento de identidad, cada elemento es su propio inverso, y la cancelación de las leyes de espera (si $ax=ay$$x=y$, y si $xa=ya$$x=y$). Mostrar que el conjunto no es un grupo en virtud de esta operación.

Esto es lo que he hecho hasta ahora: Si hay una identidad ($e$) y cada elemento es su propio inverso, a continuación, tengo un juego que se parece a $\{e, a, b, c, d\}$ donde $ee = aa = . . . = dd = e$. Me he dado cuenta de que la pregunta se menciona nada acerca de la asociatividad, y no sé exactamente lo que yo recibo de tener la anulación de la ley en términos de grupo de axiomas.

Por lo que puedo decir, este es un grupo, pero claramente a partir de la pregunta es no, por lo que cualquier sugerencias?

Answer 1

Si alguien tiene cualquier operación binaria $\ast$ en el conjunto dado $S$ con una identidad $1$ para que cualquier nonidentity elemento $a$ es su propio inverso, a continuación, $\ast$ no puede definir una estructura de grupo en $S$: Si lo hizo, el subgrupo $\langle a \rangle = \{1, a\} < S$ generado por $a$ $2$ elementos, pero cualquier subgrupo de un grupo de estructura definida en $S$ ha pedido dividiendo $5$. (Por el mismo razonamiento, el mismo es cierto para cualquier conjunto con un número impar de elementos.)

Ahora, se nos pide la exhibición explícita de producto $\ast$ la satisfacción de determinada hipótesis. Los productos $1x$, $x1$, $x^2$, $x \in S$, ya están determinados por la hipótesis, dejando $12$ entradas no especificadas en la tabla de multiplicación de $\ast$. La hipótesis juntos sólo impone una condición, en el resto de entradas: Desde la cancelación de la regla es, cada elemento en $S$ deben aparecer exactamente una vez en cada fila y cada columna de la tabla. Ahora, debemos tener $ab = c$ o $ab = d$, y por etiquetar de nuevo si es necesario, podemos asumir que la anterior, que las fuerzas de $ac = d$, $ad = b$, $cb = d$, y $db = a$.

Estos a su vez la fuerza de las relaciones, y después de unas pocas iteraciones esto determina toda la tabla, por lo que, de hecho, sólo hay dos productos $\ast$ que satisfacen las condiciones (determinado por la asignación de $c$ o $d$$ab$), y estos son isomorfos. Como dices, esta multiplicación debe ser no asociativo; de hecho, hemos $(ab)d = cd = a$ pero $a(bd) = ac = d$.

Dado que este ejemplo es pequeña y única, sería interesante saber si esta estructura podría ser descrito de alguna manera más sugerente que una tabla de multiplicación. Me he planteado esto como una nueva pregunta.

Comentario de La identidad y de las reglas de cancelación significa que estemos en particular, buscando una operación $\ast$ que define un bucle estructura en $S$. Este ejemplo es mínima en el sentido de que todos los bucles con $< 5$ elementos son en realidad grupos. Hasta el isomorfismo no son exactamente $6$ estructuras de bucle en un conjunto de $5$ elementos (por supuesto, sólo uno de ellos, $(\mathbb{Z}_5, +)$, es una estructura de grupo).