no transformación lineal que satisface $T(cx) = cT(x)$

Question

Estoy solo por curiosidad, si no hay una transformación que no satisface $\;T(x+y) = T(x) + T(y),\;$ pero satisface $\;T(cx)=cT(x).\;$

No puedo pensar en ninguna. Gracias por ayudar a la gente.

Answer 1

Depende de qué tipo de mapa que se está visualizando. Para $T:\mathbb R\to\mathbb R$ la respuesta es no, ya que tenemos a $$T(x+y)=T((x+y)\cdot1)=(x+y)\cdot T(1)=x\cdot T(1)+y\cdot T(1) =T(x)+T(y)$$ en ese caso.

Para los mapas de $T:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ la respuesta es, sin duda, sí. Un ejemplo fácil es pensar en un mapa de $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ que se asigna a $x\mapsto \varphi(x) x$ donde $\varphi:\mathbb R^2\to\mathbb R$ es cualquier función que sólo depende de la dirección de $x$, es decir, la relación $(x_1:x_2)$. Entonces $$T(cx)=\varphi(cx)cx=\varphi(x)cx=cT(x),$$ pero $$T(x+y)=\varphi(x+y)(x+y)$$ y $\varphi$ no tiene que ser lineal.

Answer 2

Cómo acerca de $T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ por:

$$T(v)=\begin{cases}v,&\text{$v=(\lambda,0)$ for $\lambda\in\mathbb{R}$}\\0,&\text{else}\end{cases}$$

Escrito $V$ por el lapso de $(1,0)$, $v\in V$ fib $cv\in V$ por cada $c\in\mathbb{R}$, lo $T(cv)=cT(v)$ (ambos lados $0$ si $v\notin V$ y en ambos lados $cv$ si $v\in V$. Sin embargo, $$T((1,0)+(0,1))=T(1,1)=0\ne (1,0)=T(1,0)+T(0,1).$$

Edit: Este es un caso especial de Christoph la construcción, con $\varphi(v)=1$ si $v\in V$ $\varphi(v)=0$ lo contrario.

Answer 3

Consideremos $T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$. Deje $\psi (t) = t + \frac14\sin (2t)$. A continuación, puede definir

$$T(r\cos \varphi, r\sin\varphi) = (r\cos \psi(\varphi), r\sin \psi(\varphi)),$$

donde la elección de $(r,\varphi)$ tal que $(x,y) = (r\cos \varphi, r\sin\varphi)$ no importa. Para $(x,y) \neq (0,0)$, $r = \pm \sqrt{x^2+y^2}$ sólo se determina a firmar, la elección de un signo diferente se traduce admisible opciones de $\varphi$$\pi$, e $\psi(t+\pi) = t+\pi + \frac14\sin (2(t+\pi)) = t+\pi + \frac14\sin (2t) = \psi(t)+\pi$, lo $T$ está bien definido.

$T$ gira cada línea a través del origen por un ángulo, pero que el ángulo depende de la línea, por lo tanto $T$ no es lineal. Pero $T(c\cdot x) = c\cdot T(x)$ todos los $c\in\mathbb{R}$$x\in\mathbb{R}^2$.