Mostrar $\cos(t^2)$ no es una función característica

Question

Normalmente, cuando intentamos demostrar que una función no es una función característica, probamos que no es uniformemente continua. Me pregunto si hay alguna otra forma de demostrar $\cos(t^2)$ no es una función característica. $%fooling edit check$

Answer 1

Una pista: Poner $\varphi(t)=\cos(t^2)$ . Si $X$ es una variable aleatoria con esta "función característica", tendríamos $$\mathbb{E}(X^2)=-\varphi^{\prime\prime}(t)|_{t=0}=0.$$

Answer 2

Introducir la notación $c(t)=\cos(t^2)$ . Por el teorema de Bochner, todo determinante $D(t)$ debe ser no negativo, donde $$ D(t)=\text{det}\begin{pmatrix}c(0) & c(t) & c(2t)\\ c(-t) & c(0) & c(t)\\ c(-2t) & c(-t) & c(0)\end{pmatrix}. $$ Desde $c(t)=c(-t)$ por cada $t$ , $D(t)=(1-c(2t))E(t)$ con $E(t)=1-2\cos(t^2)^2+\cos(4t^2)$ . Para $t=1$ , $E(1)=1-2\cos(1)^2+\cos(4)=-0.24...$ por lo que $D(1)<0$ .

Alternativamente, $E(t)=-6t^4+O(t^8)$ cuando $t\to0$ . O, $E(t)=-2\sin^2(t^2)(1+2\cos(2t^2))$ .