Demostrando que las raíces de una ecuación compleja que se encuentran dentro de un círculo

Question

Demostrar que, para valores integrales de $n\ge 1$, todas las raíces de la ecuación $$nz^n=1+z+z^2+...+z^n$$ lie within the circle $\vert z\vert=\frac{n}{n-1}$

Tomando módulo en ambos lados, $$n\vert z\vert^n=\vert1+z+z^2+...+z^n\vert$$ Utilizando el triángulo de la desigualdad, $$n\vert z\vert^n\le 1+\vert z\vert+\vert z\vert^2+...+\vert z\vert^n$$ $$\vert z\vert^n(n-1)\le 1+\vert z\vert+\vert z\vert^2+...+\vert z\vert^{n-1}$$

El uso de la suma del GP de fórmula, $$(n-1)\vert z\vert^n\le\frac{\vert z\vert^n-1}{\vert z\vert -1}$$ $$(n-1)\frac{\vert z\vert^n}{\vert z\vert^n-1}\le\frac{1}{\vert z\vert -1}$$ (No estoy seguro sobre el paso anterior porque estoy multiplicando con un número que puede ser negativo).

¿Cómo debo proceder?

Answer 1

$z=0$ nunca es una solución, por lo que podemos escribir la ecuación como

$$n=\frac1{z^n}+\cdots+\frac1z+1.$$

Si $z$ es una solución con la norma estrictamente mayor que $n/(n-1)$ luego de la primera $n$ términos en el lado derecho son estrictamente menor (en valor absoluto) de $(n-1)/n$, así que tendría

$$n<n\frac{(n-1)}n+1$$

lo cual es claramente imposible.

Answer 2

Suponga $|z|>1$ ya que de lo contrario no hay nada que demostrar. A continuación,$|z|^k \leq |z|^{n-1}$$k<n$. Inicio de $$\begin{align}|z|^n (n−1)&≤1+|z|+|z|^2+...+|z|^{n−1} \\ &\leq n |z|^{n-1}\end{align}$$ Dividir por $(n-1)|z|^{n-1}$ para obtener el resultado.