deje $a,b,c\ge 0$, muestran que
$$ b^2c^2+abc(b+c)+a(b^3+c^3)+a^3(b+c)\ge 2a^2(b^2+c^2+bc)$$
mi idea de utilizar el SOS métodos, Pero yo no trabajo en el pasado. Gracias
Respuesta
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Ya que esta expresión es simétrica en $b$$c$, podemos hacer la sustitución $x=b+c$, $y=bc$ para obtener el equivalente a la desigualdad $$ y^2+axy+a(x^3-3xy)+a^3x \geq 2a^2(x^2-y) \, ; $$ la condición de $b,c \geq 0$ es equivalente a exigir $x,y \geq 0$.
Esta desigualdad es cuadrática en $y$. Mediante la recopilación de términos, vemos que no es suficiente para mostrar que \begin{eqnarray} f_{x,a}(y):&=&y^2+y(ax-3ax+2a^2)+ax^3+a^3x-2a^2x^2\\ &=&y^2-2ya(x-a)+ax(x-a)^2 \end{eqnarray} no es negativo siempre que $a,x,y$.
Fijo $x,a$, la función de $f$ se minimiza cuando se $y=a(x-a)$. Hay dos posibles casos:
- Si $a>x$, este valor mínimo se encuentra fuera del dominio de consideración. Desde $f$ es una ecuación cuadrática con positivo coeficiente inicial, se reduce al mínimo en el dominio de consideración en sus límites; es decir, cuando se $y=0$. Pero $a,x \geq 0$, lo que significa que $f_{x,a}(0)=ax(x-a)^2 \geq 0$.
- Si $a \leq x$, $f$ se minimiza en el dominio de la consideración de la $y=a(x-a)$. Por otra parte, \begin{eqnarray} f_{x,a}(a(x-a))&=&a^2(x-a)^2-2a^2(x-a)^2+ax(x-a)^2\\ &=& a(x-a)^3 \end{eqnarray} lo cual no es negativo como $a \geq 0$$x \geq a$.
Así que, para cualquier elección de $x$ y $a$, $f$'s valor mínimo en $y$ es no negativo. Por lo tanto $f$ no es negativo en todo el dominio de consideración.
