$f(\alpha x) = f(x)^{\beta}$ bajo diferentes restricciones

Question

Con $\alpha > 0,\, \beta \in \Bbb R^*,\, \alpha, \beta \neq 1$$f : \Bbb R \to \Bbb R_+^*$, consideremos la ecuación funcional $$ f(\alpha x) = f(x)^{\beta} \tag{$\Xi$}$$ o, equivalentemente,$g(\alpha x) = \beta g(x)$$g = \ln f$.

En el caso de que $\alpha = \sqrt2$, $\beta = 2$ y $f \in \mathcal C^2$ ya ha sido resuelto : la Resolución de $(f(x))^2 = f(\sqrt{2}x)$ (la respuesta es $\exists \lambda\mid f(x) = e^{\lambda x^2}$).

Lo que si nos relajamos/cambiar algunas de las limitaciones, por ejemplo:

• Manteniendo $f$ regular (es decir $\mathcal C^{\infty}$), pero la configuración de $\alpha, \beta$ genérico
• $f \in \mathcal C^0$
• $f \in L^1$
• (otras ideas?)

Answer 1

Resumen en la parte inferior.

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$$g(\alpha x)=\beta g(x)$$

$$\gamma = \frac{\ln |\beta|}{\ln\alpha}$$

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Si $\beta >0$, $\beta=\alpha^\gamma$ y $g(\alpha x)=\alpha ^\gamma g(x)$.

Definimos $h(x)$$x\neq 0$$h(x)= g(x)x^{-\gamma} $. Entonces: $$h(\alpha x)=g(\alpha x){\alpha^{-\gamma} x^{-\gamma}}=g(x){x^{-\gamma}}=h(x) $$

Ahora vamos a $k_1(x)=h(\alpha^x)$$k_2(x)=h(-\alpha^x)$.

A continuación, $k_1$ $k_2$ puede ser de cualquiera de las funciones periódicas, con un período de $1$.

Por lo tanto:

$$g(x)=\cases{x^\gamma k_1(\log_\alpha(x)) & \text{if } x>0 \cr x^\gamma k_2(\log_\alpha(-x)) & \text{if } x<0 }$$

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Si $\beta<0$, $\beta=-\alpha^\gamma$. Utilizamos la misma definición para $h$, $k_1$ y $k_2$, pero ahora tenemos: $k_1(x+1)=-k_1(x)$$k_2(x+1)=-k_2(x)$.

Por lo $k_1$ $k_2$ puede ser cualquier antiperiodic funciones, con un período de $1$.

Y:

$$g(x)=\cases{x^\gamma k_1(\log_\alpha(x)) & \text{if } x>0 \cr x^\gamma k_2(\log_\alpha(-x)) & \text{if } x<0 }$$

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Si $g \in \mathcal C^n$, luego $k_1$, $k_2 \in \mathcal C^n$.

Si $n\geq\gamma$, a continuación, en un barrio de $0^+$: $$g(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{g^{(k)}(0)}{k!}x^k + o(x^n)= x^\gamma k_1(\log_\alpha(x))$$ $$k_1(\log_\alpha(x))=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{g^{(k)}(0)}{k!}x^{k-\gamma} + o(x^{n-\gamma})$$

Por lo $k_1(\log_\alpha(x))$ tiene un límite en $0^+$ (que podría ser infinito), por lo $k_1$ tiene un límite en $-\infty$. Por lo que debe ser una constante (ya que es periódica de período en la mayoría de las $2$). Podemos utilizar el mismo razonamiento para $k_2$. Así $g(x)=\cases{c_1x^\gamma & \text{if } x>0 \cr c_2x^\gamma & \text{if } x<0 } $

Por lo tanto, todos los derivados de $g$ $0$ de orden menor que $\gamma$$0$, y si $n>\gamma$, $g$ no $p=\lceil \gamma\rceil$ veces diferenciable cerca de $0$. Por lo $\gamma = n$$c_1=c_2$.

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En suma:

En general:

$$g(x)=\cases{x^\gamma k_1(\log_\alpha(x)) & \text{if } x>0 \cr x^\gamma k_2(\log_\alpha(-x)) & \text{if } x<0 } $$

Donde $k_1$ $k_2$ son de dos periódicos (si $\beta>0$) o antiperiodic (si $\beta<0$) funciones del período $1$.

Si $g\in\mathcal C^{n}$, por lo que se $k_1$$k_2$. Y si $n\geq\gamma$, $n = \gamma$, y $g(x)=\lambda x^n$.

Si hay algún error, por favor hágamelo saber.

Answer 2

Suponga $f$ (e $g$) $\mathcal C^{\infty}$ (vamos a ver que $\mathcal C^p$ $p$ lo suficientemente grande, es suficiente para obtener el mismo resultado).

Derivating la igualdad $g(\alpha x) = \beta g(x)$ $k$ veces da $\alpha^k g^{(k)}(\alpha x) = \beta g^{(k)}(x)$.

Supongamos primero que $\alpha, \beta > 1$. La sustitución de $x$ por $(x/\alpha)$ $n$ veces en los últimos igualdad de rendimientos

$$g^{(k)}(x) = \frac{\beta}{\alpha^k}g^{(k)}\left(\frac x{\alpha}\right) = \ldots = \left(\frac{\beta}{\alpha^k}\right)^n g^{(k)}\left(\frac x{\alpha^n}\right) \etiqueta{$\phi$}$$

Ahora vamos a recoger $k = \left\lceil \frac{\ln \beta}{\ln \alpha} \right\rceil$, de modo que $\left|\frac{\beta}{\alpha^k}\right| \le 1$$\frac{\beta}{\alpha^{k-1}} > 1$. Desde $g^{(k)}$ es continua en a $0$, tomando el límite en $(\phi)$ al $n \to \infty$ comandos $g^{(k)}(x) = 0$ todos los $x$. Por lo $g$ debe ser un polinomio de grado $\le k$.

Si reemplazamos $k$$p \le k-1$$(\phi)$, el límite al $n \to \infty$ ahora los comandos de $g^{(p)}(0) = 0$ desde $\frac{\beta}{\alpha^{p}} \ge \frac{\beta}{\alpha^{k-1}} > 1$. Esto implica que a $g(x)$ es de la forma $g(x) = \lambda x^k$. Pero $g(\alpha x) = \lambda \alpha^k x^k= \beta g(x) = \beta \lambda x^k$ fuerzas de $\beta = \alpha^k$.

Ahora bien, si asumimos $\alpha, \beta < 1$, es obvio que $(\Xi)$ es equivalente a $g(\tfrac1{\alpha}x) = \tfrac1{\beta}g(x)$ y desde $\tfrac1{\alpha}, \tfrac1{\beta} >1$, estamos de vuelta en el caso anterior.

Wrap-up: si $\alpha, \beta>1$ o $\alpha, \beta<1$, tomando nota de $k = \frac{\ln \beta}{\ln \alpha}$, $(\Xi)$ sólo ha $\mathcal C^{\lceil k \rceil}$ soluciones si $k \in \Bbb N$ y en este caso las soluciones son de la forma $f(x) = e^{\lambda x^k}$.

Vamos a suponer $\alpha >1$$0 < \beta <1$, $f$ (e $g$) sólo $\mathcal C^0$ (continua). La reescritura de $(\Xi)$$g(x) = \beta g(\tfrac x{\alpha})$, tenemos por recorrer $\forall n, g(x) = \beta^n g(\tfrac x{\alpha^n})$ y, por la continuidad de $g$ en $0$, $g(x) = 0$. Como antes, el caso de $\alpha < 1 $ $\beta >1$ tiene la misma solución.

Conclusión 2: si $\alpha >1, 0<\beta<1$ o $\alpha <1, \beta>1$, sólo el $\mathcal C^0$ (incluso limitado) solución a$(\Xi)$$f = constant$.