Lo fundamental que resulta el teorema fundamental del álgebra?

Question

A pesar de su nombre, su a menudo se afirma que el teorema fundamental del álgebra (que muestra que los números Complejos son algebraicamente cerrado de esto es que no debe confundirse con la afirmación de que un polinomio de grado n tiene a lo más n raíces) no es considerado fundamental por algebraists como no es necesaria para el desarrollo de la moderna álgebra. Mi pregunta es - ¿cuáles son los principales usos del teorema, y en qué medida pueden justificar la afirmación de que el teorema es fundamental para algo?

Un ejemplo que se me ocurre es la forma canónica de Jordan de las matrices, pero no creo que sea suficiente.

Answer 1

De inmediato me puede pensar en cuatro áreas importantes para que el TLC es en realidad bastante fundamental. Tal vez otras personas puede salir con más contribuciones.

1. La Geometría algebraica (como ya se ha tocado en Agustí Roig de la respuesta). En particular, se debe par el TLC con Lefschetz del Principio que básicamente dice que el complejo proyectiva del espacio es una especie de "universal" medio ambiente para la geometría algebraica en el carácter 0.

2. Clasificación de las estructuras algebraicas más local o global de campos, donde se utiliza constantemente que $\Bbb C$ no tiene no trivial finito extensiones (una consecuencia trivial de la FTA)

3. La teoría de representaciones de grupos, donde el TFA juega un papel importante hacer la teoría de los complejos de representaciones más simples.

4. Galois de la teoría y de la teoría algebraica de números, donde el TLC permite a darse cuenta de $\Bbb C$ como un buen ambiente para el estudio de las extensiones finitas de $\Bbb Q$ (en el resultado que en un campo de número de grado $n$ siempre admite $n$ independiente embedings en $\Bbb C$) y permitiendo el uso de la "geometría de los números" (del teorema de Minkowski) para demostrar importante aritmética de los resultados, tales como la finitud de la clase número y la estructura de las unidades (del teorema de Dirichlet)

Answer 2

No se puede enfatizar el punto de que uno de los principales beneficios de trabajar a través de una algebraicamente cerrado de campo como $\mathbb C$ es la inmensa simplificación alinear lo que sería mucho más complicado de lo no lineal de los fenómenos. La capacidad para factorizar polinomios completamente en lineal factores sobre los $\mathbb C$ permite generalizada de linealización simplificaciones de diversos problemas. Un ejemplo familiar para cualquier cálculo de los estudiantes es el hecho de que la integración de funciones racionales es mucho más sencillo, más de $\mathbb C$ (vs $\mathbb R$) desde la fracción parcial de descomposición implican en la mayoría de los lineales (vs cuadrática) polinomios en el denominador. De forma análoga, se puede reducir el orden superior de la constante coeficiente diferencial y ecuaciones de diferencia (es decir, las recurrencias) lineal (de primer orden) las ecuaciones por factorización como operadores lineales sobre $\mathbb C$ (es decir, "álgebra de operadores").

Más generalmente, de la simplificación de linealización estaba en el corazón del desarrollo de álgebra abstracta. Es decir, Dedekind, mediante la abstracción de la esencial estructuras lineales (ideales y módulos) en la teoría de números, simplifica en gran medida el antes no lineal de Gauss teoría (basada en la formas cuadráticas). Esto le ha permitido explotar al máximo el poder de álgebra lineal. Abundan los ejemplos de los avances revolucionarios que esto trajo a la teoría de números y álgebra - por ejemplo, que proporciona los métodos necesarios para generalizar la ley de la reciprocidad cuadrática de orden superior de la reciprocidad de las leyes - un problema de larga data que motivó gran parte de los primeros trabajos en teoría de números y álgebra.

Answer 3

Es fácil ser agota la FTA después de la matemática de la historia se ha ejecutado durante dos siglos. Seguro, no es el número uno el más importante resultado, o el centro de cualquier programa de investigación (a pesar de que la comprensión de la clausura algebraica de Q podría ser considerado como la mitad de la teoría de los números). Pero tenga en cuenta la situación en torno a 1800. En adición a la solución de ecuaciones algebraicas uno tenía nuevos métodos de construcción de los números, utilizando el poder de las series, integrales y otros límites. Álgebra y teoría de números tratados con la primera situación, en una medida limitada, y el análisis mostró que el segundo tipo de construcción puede ser iterado pero permanecen dentro del mismo reino de los números. Todavía existe la posibilidad de que la resolución de las ecuaciones con $\pi$ $e$ como coeficientes podría requerir un tipo completamente nuevo de super-trascendental de análisis. Teorema Fundamental del Álgebra es contraproducente en este sentido: se demuestra que no hay nada más era necesario que los números complejos. Pero esto no es claro, en un mundo donde no sabemos que TLC es cierto.

Para tener una idea de lo que la geometría algebraica parecía sin números complejos, buscar Newton clasificación de grado 3 curvas algebraicas en el plano, $P_3(x,y)=0$, utilizando coordenadas reales. La razón de este trabajo es oscuro el día de hoy es que hay muchas docenas de casos en comparación con el complejo proyectiva versión. Como en la Mentira de los grupos y de la topología, en busca de la universal de cobertura (C) hacia abajo, modulo algunos Galois de la teoría de la información (R), es generalmente más fácil que trabajar desde abajo hacia arriba.

Supongamos que usted desea para evaluar la integral, de$- \infty$$+\infty$, de una función racional (uno con coeficientes enteros podría ilustrar el punto). La respuesta implicará $\pi$ y el método habitual para encontrar utilizará la ubicación específica de las raíces en el plano complejo, por lo que es más específico para los números complejos de la existencia de raíces en una clausura algebraica. Hay algunos que no los métodos habituales que se quedan completamente dentro de los números reales, pero no son estándar, porque son más complicadas, y más difícil de entender y adaptarse a otros problemas.

La geometría algebraica, en general, tiene una trascendental parte -- períodos, Hodge teoría, uniformización, etc -- que, en el estado actual del conocimiento, no puede ser sustituido totalmente por métodos algebraicos sobre los campos de característica 0 (o p). A veces Lefschetz principio o reducción de característica positiva puede ser utilizado, a veces no, o la teoría es desconocido.

Answer 4

Bueno, hay algo que se llama "Geometría Algebraica". Se pueden consultar las primeras páginas de la mayoría de los libros sobre el tema y verás algo como: "Vamos a $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo..." [por ejemplo, $\mathbb{C}$]. De hecho, este es el comienzo de Hartshorne del libro.

La razón? Es mucho más difícil de hacer de la geometría sobre los números reales, donde todos sus teoremas sobre el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas (el principal objeto de la Geometría Algebraica) puede fallar miserablemente, simplemente porque existen ecuaciones como $x^2 + 1 = 0$ con ninguna solución.

Por ejemplo, la existencia de ecuaciones polinómicas como $x^2 + 1 = 0$ sin solución a través de los reales, las ruinas de la básica bijection entre el primer ideales en $\mathbb{R}[x_1, \dots , x_n]$ e irreductible algebraicas conjuntos en el espacio afín $\mathbb{R}^n$, que es central para la Geometría Algebraica.

Esto no significa que usted no puede hacer Geometría Algebraica sobre los reales, sólo es otro negocio.

Answer 5

Tal vez vale la pena ampliar mi respuesta. (Que me perdone si puedo obtener detalles mal.) Si usted está interesado en la Mentira grupos, que están interesados en su clasificación. La conexión de un grupo Mentira es el cociente de su cobertura universal por un subgrupo discreto de su centro, por lo que para clasificar conectado Mentira grupos es suficiente para clasificar simplemente conectado Mentira grupos, a continuación, calcular sus centros. Esta clasificación es esencialmente equivalente a la clasificación de finito-dimensional real álgebras de Lie. El Levi de descomposición dice que para clasificar tales álgebras de Lie es más o menos lo suficiente como para clasificar solucionable y semisimple álgebras de Lie. El antiguo problema de clasificación, como yo lo entiendo, es salvaje; sin embargo, éste es manejable. La idea básica es la primera para el estudio de complejos semisimple álgebras de Lie y, a continuación, el estudio de sus formas reales.

Una gran razón por la que esto es posible es que los números complejos son algebraicamente cerrado. Esto significa que los autovalores siempre existen, y a partir de ahí todo es posible su clasificación.