¿Es continua una función que mapea todo conjunto compacto a un conjunto compacto?

Question

Una función continua mapea un conjunto compacto a un conjunto compacto. ¿Es cierto lo contrario? Es decir, ¿una función que mapea todo conjunto compacto a un conjunto compacto es necesariamente continua?

Answer 1

No. Consideremos la función discontinua $$f(x) = \begin{cases} 1 & x \geq 0\\ -1 & x <0.\end{cases}$$ Entonces, para cualquier subconjunto $A \subseteq \mathbb{R}$ (no sólo subconjuntos compactos), $f(A)$ es $\emptyset$ , $\{-1\}$ , $\{1\}$ o $\{-1, 1\}$ Todos ellos son compactos.

Answer 2

La función característica de los racionales mapea todo conjunto, en particular todo conjunto compacto, a un conjunto compacto. Pero es discontinua en cada punto.

Answer 3

El contraejemplo más básico es probablemente la función de identidad de un conjunto de dos elementos equipado con la topología trivial a un conjunto de dos elementos equipado con una topología no trivial.