Familias independiente versus generadores en boleanas

Question

Que $\kappa$ ser un cardinal infinito. Una familia $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{P}(\kappa)$ es independiente si fuera, por todas las $A_1,\ldots,A_n\in\mathcal{A}$ y $i_1,\ldots,i_n\in\{0,1\}$, tenemos

$$ \left|\bigcap_{j = 1}^n A_j^{i_j}\right| = \kappa $$

donde $A^0 = A$ y $A^1 = \kappa\setminus A$.

Pregunta: ¿hay un % de familia independiente $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{P}(\kappa)$tales que la álgebra boleana generado por los subconjuntos de tamaño $\mathcal{A}$ $\kappa$ $< \kappa$ de $\mathcal{P}(\kappa)$?

Me interesa particularmente el caso $\kappa = \omega_1$, aunque sería interesante una respuesta para cualquier infinito $\kappa$.

Answer 1

Esto fue contestado en desbordamiento de matemáticas aquí. Lo esencial es que una familia independiente de subconjuntos de $\kappa$, junto con los subconjuntos de tamaño $\kappa$ $< \kappa$, no puede generar todos los $\mathcal{P}(\kappa)$ como una álgebra boleana.