Que $\kappa$ ser un cardinal infinito. Una familia $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{P}(\kappa)$ es independiente si fuera, por todas las $A_1,\ldots,A_n\in\mathcal{A}$ y $i_1,\ldots,i_n\in\{0,1\}$, tenemos
$$ \left|\bigcap_{j = 1}^n A_j^{i_j}\right| = \kappa $$
donde $A^0 = A$ y $A^1 = \kappa\setminus A$.
Pregunta: ¿hay un % de familia independiente $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{P}(\kappa)$tales que la álgebra boleana generado por los subconjuntos de tamaño $\mathcal{A}$ $\kappa$ $< \kappa$ de $\mathcal{P}(\kappa)$?
Me interesa particularmente el caso $\kappa = \omega_1$, aunque sería interesante una respuesta para cualquier infinito $\kappa$.