¿Cómo demostrar este hecho simple sin utilizar la teoría de la distribución?

Question

Supongamos que la función $f(x) $ se normaliza a la unidad, es decir, $$ \int dx |f(x)|^2 =1 . $ $ ahora considerar la transformada de Fourier de $f$, es decir, $$ F(k) = \int d x f(x) e^{-i k x} . $ $

Aquí asumimos que $f $ es una función muy bien-se comportó (por ejemplo, una función Gaussiana) así que $F(k)$ es bien definido y también bien-comportado.

Es bien sabido que % $ $$ \int d k |F(k)|^2 =2 \pi . $

Pero, cómo demostrarlo sin usar la identidad

$$ \int dk e^{i k x } = 2 \pi \delta (x) . $$

Answer 1

$\int dk |F(k)|^2= \int dk \int dx' \int dx'' f(x')f^*(x'')e^{-ik(x'-x'')}$ porque $|F(k)|^2=F(k)F^*(k)$. La integración de más de $k$ rendimientos:

$\int dk |F(k)|^2 = \int dx' \int dx'' f(x')f^*(x'') \frac{[e^{-ik(x'-x'')}]_{- \infty}^\infty}{i(x''-x')}$.

Sustitución: $z=x''-x'$. Ahora las Herramientas de Análisis complejos que pueden ser usados: La integral sobre todo el eje real puede ser Extendido a un contorno integral sobre la mitad superior del círculo y el eje real (el camino es $C$). El semi-círculo integral se desvanece debido a $z^{-1} \rightarrow 0$$z \rightarrow \infty$. Por lo tanto, uno se queda con la siguiente contorno de la integral:

$\int dx' \int dx'' f(x')f^*(x'') \frac{[e^{-ik(x'-x'')}]_{- \infty}^\infty}{i(x''-x')} = \int dx' f(x') \oint_C dz f^*(x'+z) \frac{[e^{ikz}]_{- \infty}^\infty}{iz}$.

Utilizando el Teorema de los residuos (Atención: El polo se encuentra en $C$!) de primaria y de la trigonometría tiene:

$\int dx' f(x') \oint_C dz f^*(x'+z) \frac{[e^{ikz}]_{- \infty}^\infty}{iz} = \int dx' f(x') f^*(x') \pi i \frac{\lim_{z \rightarrow 0, k \rightarrow \infty} 2sin(zk)}{i} =$

$2 \pi \int dx' |f(x')|^2 \lim_{z \rightarrow 0, k \rightarrow \infty} sin(zk) = 2 \pi \lim_{z \rightarrow 0, k \rightarrow \infty} sin(zk)$

Answer 2

Asumir que $f$ es real, suave y absolutamente integrable con derivada absolutamente integrable. $f \in L^{1}\cap L^{2}$ A continuación. Definir $g(x)=f(-x)$. Entonces, $$ g ^ {\wedge} (s) = \overline {f ^ {\wedge} (s)}. $$ El % de circunvolución $f\star g$tiene transformada de Fourier transforman $\sqrt{2\pi}|f^{\wedge}(s)|^{2}$. Por lo tanto, $$ (f\star g) (x) = \int_ {-\infty} ^ {\infty} e ^ {isx} | f ^ {\wedge} (s) | ^ {2} ds. Evaluación de $$ $x=0$ da \int_{-\infty}^{\infty}f $$ (x) ^ {2} dx = (f\star g) (0) = \int_ {-\infty} ^ {\infty} | f ^ {\wedge} (s) | ^ {2} ds. $$