Cómo solucionar $\sqrt {1+\sqrt {4+\sqrt {16+\sqrt {64+\sqrt {256\ldots }}}}}$

Question

Cómo resolver esta ecuación?

$$x=\sqrt {1+\sqrt {4+\sqrt {16+\sqrt {64+\sqrt {256\ldots }}}}}.$$

Respuesta: $x=2$

Answer 1

He encontrado esta respuesta.Es que mal ?

Answer 2

A partir de este documento, en la página $5$, la ecuación de $(20)$ y dejando $x=1$ uno ve que el valor de su anidada radical es, de hecho,$2$.

Esto viene de lo siguiente:

Deje $a:=\{a_n\}_{n\geq 0}$ $b:=\{b_n\}_{n\geq 0}$ ser secuencias. Vamos a hacer uso de la notación siguiente:

$$R(a,b):=\sqrt{a_0 + b_0\sqrt{a_1 + b_1\sqrt{a_2 + b_2\sqrt{\ldots}}}}$$

Teorema:

Deje $x_1,x_2,x_3 \geq 0$

Podemos definir las secuencias de $p,q,r,s$ donde: $$p_n = x_1x_2 + (x_2 + 2^nx_3)^2 \qquad q_n = x_1 $$ $$r_n = x_2(x_1 + nx_3) + (x_2 + x_3)^2\qquad s_n = x_1 + nx_3$$

Entonces $$x_1 + x_2 + x_3 = R(p,q) = R(r,s).$$

La prueba está en el artículo y es muy interesante, pero no voy a transcribir aquí.

Si se consideran las secuencias de $p$ $q$ $x_1 = x_3 = 1$ $x_2 = 0$ que obtener el resultado deseado.

Answer 3

Sugerencia: Puede encontrar una relación entre el$x$$x^2$?

Answer 4

sólo un intento de reducir el tamaño de los números... $$ \sqrt {1+\sqrt {4+\sqrt {16+\sqrt {64+\sqrt {256\ldots }}}}}=\sqrt {1+ 2^1\sqrt{1+2^0\sqrt {1+2^{-1}\sqrt {1+2^{-2}\sqrt {1+2^{-3}\sqrt{1+\ldots }}}}}} $$

Answer 5

$x^2 = 1 + 2 x$

$x^2 - 2x - 1 = 0$

$x = 1 + \sqrt{2}$ porque $x > 0$.