Teorema de Poincaré-Bendixson sobre la banda de Mobius

Question

En el libro de J. Jr. Palis y W. de Melo Teoría geométrica de los sistemas dinámicos: una introducción en la página $18$ Hay un tipo de Poincaré-Bendixson teorema sobre $S^2$ o en el plano o en el cilindro de la siguiente manera:

Teorema: Sea $\mathcal M$ denota el espacio de fase, que puede ser el plano, el cilindro o la biesfera. $X \in \chi ^r(\mathcal M) $ ( $r\ge 1$ ) sea un campo vectorial con un número finito de singularidades. Tomemos $p \in \mathcal M$ y que $\omega(p)$ sea el $\omega$ -conjunto de límites de $p$ . Entonces se da una de las siguientes posibilidades
$(1)$ $\omega(p)$ es una singularidad;
$(2)$ $\omega(p)$ es una órbita cerrada;
$(3)$ $\omega(p)$ consiste en singularidades $p_1, ... , p_n$ y órbitas regulares tales que si $\gamma \in \omega(p)$ entonces $\alpha(\gamma) = p_i$ y $\omega(\gamma) = p_j$ para algunos $1\le i,j \le n$ .

La prueba utiliza del Teorema de la curva de Jordan : toda curva continua cerrada sin autointersecciones se separa $\mathcal M$ en dos regiones (dos superficies conectadas).
En los ejercicios del final del capítulo, el ejercicio $5$ los autores quieren demostrar lo siguiente:

[Deja $M^2$ sea una variedad lisa bidimensional y] Sea $F \subset M^2$ sea una región homeomórfica a una banda de Mobius y sea $X \in \chi^r(M^2)$ ( $r\ge 1$ ) sea un campo vectorial tal que $X_t(F) \subset F$ para todos $t \ge 0$ . Si $X$ tiene un número finito de singularidades en $F$ entonces el $\omega$ -límite de la órbita de un punto $p \in F$ es una órbita cerrada o está formada por singularidades y órbitas regulares cuyo $\omega$ y $\alpha$ -son singularidades.

Pero en la banda de Moebius, podemos dibujar curvas cerradas que no tienen "interior" ni "exterior". Consideremos la curva que divide la banda por la mitad y que discurre por la mitad de los bordes libres. Si tomamos unas tijeras y cortamos a lo largo de esta curva, nos quedará una única superficie conectada. Entonces, ¿cómo podemos demostrar la afirmación de la banda de Moebius?

Answer 1

Hay un resultado bastante generalizado de Schwartz,

Schwartz, A. J. A generalization of the Poincaré-Bendixson theorem to closed de dos dimensiones, Amer. J. Math. 85 (1963), 453-458.