Prueba $\lim_{n\rightarrow \infty} 2^n \sqrt{2-x_n}=\pi$ usando las identidades del ángulo mitad.

Question

Es la secuencia $x_1=0,\; x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$. Probar: $$\lim_{n\rightarrow \infty} 2^n \sqrt{2-x_n}=\pi$ $

Sugerencia:

Utilice las siguientes fórmulas: $$\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$ $ $$\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$ $

¿Alguna idea como solucionar este problema?

Answer 1

Tenga en cuenta que $x_1 \le 2$, $x_n \le 2 \forall n$. Esto se puede demostrar inductivamente.

Así, nos podemos escribir $x_n = 2 \cos \theta_n$ $\theta_n \in [0, \pi/2]$, $\theta_1 = \pi/2$

Ahora, $2 \cos \theta_{n+1} = \sqrt{2(1+ \cos \theta_n)} = 2 \cos \frac{\theta_n}2 \implies \theta_{n+1} = \frac{\theta_n}{2} = \frac{\theta_1}{2^n} = \frac{\pi}{2^{n+1}}$.

Esto implica que el $2^n\sqrt{2 - x_n} = 2^{n+1} \sin \frac{\pi}{2^{n+1}}$. Termine usando $\frac{\sin x}{x} \to 1$ $x \to 0$.

Answer 2

Por inducción y la fórmula de la pista, podemos obtener fácilmente $x_n=2\cos(\frac{\pi}{2^n})$. Entonces $$\lim_{n\rightarrow\infty}2^n\sqrt{2-x_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}2^n\sqrt{2}\sqrt{1-\cos(\frac{\pi}{2^n})}=\lim_{n\rightarrow\infty}2^{n+1}\sin\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)=\pi$ $

Answer 3

Por inducción matemática puede ser demostrado que $x_n=2\cos(\frac{\pi}{2^n})$. para base de inducción $x_0=0=2\cos(\frac{\pi}{2})$. También tenemos $x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}=\sqrt{2+2\cos(\frac{\pi}{2^n})}=2\sqrt{\frac{1+\cos(\frac{\pi}{2^n})}{2}}=2\cos(\frac{\pi}{2^{n+1}})$. Por lo tanto $\sqrt{2-x_n}=2\sqrt{\frac{1-\cos(\frac{\pi}{2^n})}{2}}=2\sin(\frac{\pi}{2^{n+1}})$, que $\lim_{n\rightarrow \infty}2^n\sqrt{2-x_n}=\lim_{n\rightarrow \infty}2^{n+1}\sin(\frac{\pi}{2^{n+1}})=\lim_{n\rightarrow \infty}\pi( \frac{\sin(\frac{\pi}{2^{n+1}})}{\frac{\pi}{2^{n+1}}})=\pi$