Una secuencia de Cauchy no necesariamente convergen, por ejemplo, la secuencia de $(1/n)$ en el espacio de $(0,1)$.
Tal vez mi intuición está mal, pero tiendo a pensar de esto como, "no convergen, pero lo que converge a no está en el espacio". Hay ejemplos de una secuencia de Cauchy que no convergen y se evita este tipo de decir?
Para cualquier espacio métrico $Q$ podemos definir a la conclusión, de que es una (mayor) espacio métrico $R$ tal que $Q$ es un (denso) el subespacio de $R$ y todas las secuencias de Cauchy en $Q$ tienen un límite en $R$. Así, las secuencias de Cauchy en $Q$ "hacer converger pero lo que convergen no está en el espacio". Este es, precisamente, una manera de definir el $\mathbb R$$\mathbb Q$.
De hecho, no hay ejemplos en todos ("trivial" o de otra manera). Cualquier espacio métrico admite una terminación, y cada secuencia de Cauchy en el espacio original es de nuevo de Cauchy en la finalización, donde converge.
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