Encontrar el determinante de la matriz siguiente

Question

Encontrar el determinante de la matriz siguiente: $$A =\begin{bmatrix} 1+x_1^2 &x_1x_2 & ... & x_1x_n \\ x_2x_1&1+x_2^2 &... & x_2x_n\\ ...& ... & ... &... \\ x_nx_1& x_nx_2 &... & 1+x_n^2 \end{bmatrix} $$

Computa para el caso $n=2$ y $n=3$ y conjeturado que $\det(A)$ $ 1+\sum_{i=1}^n x_i^2 $ pero no está seguro de cómo proceder para cualquier $n$.

Answer 1

Para ampliar el comentario de darij grinberg, que

$$ X = A-I_n =\begin{bmatrix} x_1^2 &x_1x_2 & ... & x_1x_n \\ x_2x_1&x_2^2 &... & x_2x_n\\ ...& ... & ... &... \\ x_nx_1& x_nx_2 &... & x_n^2 \end{bmatrix} = (x_ix_j) _ {1\leq i, j\leq n} $$

Entonces todas las líneas de $X$ son múltiplos de $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$; así ${\textsf{rank}}(X)\leq 1$. Los valores propios de $X$ (contados con multiplicidad) son por lo tanto $0,0,\ldots,0$ ($n-1$ veces), más algunos $\lambda\in{\mathbb R}$. Puesto que el rastro de $A$ es igual a la suma de sus valores propios, debemos $\lambda={\textsf{trace}}(A)=\sum_{i=1}^n x_i^2$. Entonces $X$ es similar a ${\textsf{diag}}(0,0,0,\ldots, 0,\sum_{i=1}^n x_i^2)$, por lo que $A$ es similar a ${\textsf{diag}}(1,1,1,\ldots, 1,1+\sum_{i=1}^n x_i^2)$, donde

$ {\textsf{det}} (A) = 1 + \sum_ {i = 1} ^ n x_i ^ 2 $$

Answer 2

Este es un método sin utilizar (al menos explícitamente) la noción de valor propio.

Llame a $f(x_1,\dots,x_n)$ el determinante buscado. Ver la última columna como %#% $ de #% esto da por linealidad con respecto a la última columna, $$ f(x_1,\dots,x_n) = f (x_1, \dots, icadas {n-1}) + x_n\det\begin{bmatrix} 1+x_1^2 &x_1x_2 & ...&x_1x_{n-1} & x_1 \\ x_2x_1&1+x_2^2 &... &x_2x_{n-1}& x_2\\ ...& ... & ... &&... \\ x_nx_1& x_nx_2 &...& x_nx_{n-1} & x_n \end{bmatrix} $ (el primer determinante se calcula mediante la expansión con respecto a la última columna). En el último factor determinante, no $$\pmatrix{0\\\vdots\\ 0\\1 }+x_n\pmatrix{x_1\\\vdots\\ x_{n-1} \\x_n }.$, $C_i\leftarrow C_i-x_iC_n$ para mostrar \det\begin{bmatrix} 1+x_1^2 &x_1x_2 & ...&x_1x_{n-1} & x_1 \\ x_2x_1&1+x_2^2 &... &x_2x_{n-1}& x_2\\ ...& ... & ... &&... \\ x_nx_1& x_nx_2 &...& x_nx_{n-1} & x_n \end{bmatrix}=x_n.$$ $$ ahora podemos concluir por inducción.

Answer 3

Considerar los valores propios de $x \cdot x^T + I$

$x \cdot x^T v + v = \lambda v$
$x \cdot x^T v = \lambda v - v$

$v$ debe ser paralelo al $x$ o ($\lambda$ = 1). wlog $v = x$

$||x|| ^2 x= (\lambda - 1) x$
$\lambda = ||x||^2 + 1$

Usted puede utilizar el hecho de que el factor determinante es el producto de valores propios (debe ser $n$)