¿Por qué es $X^4-16X^2+4$ irreductible en $\mathbb{Q}[X]$?

Question

Determinar si $X^4-16X^2+4$ es irreducible en a $\mathbb{Q}[X]$.

Para resolver este problema, pensé que ya $X^4-16X^2+4$ no tiene raíces racionales por lo tanto irreductible.

Pero hay una sugerencia a esta pregunta, que utiliza enfoque diferente:
Intente suponiendo que esto es reducible, entonces se debe considerar en un producto de dos monic polinomios cuadráticos con coeficientes enteros. A continuación, mostrar que es imposible, entonces a la conclusión de que el original polinomio es irreducible.

Mis preguntas con respecto a las sugerencias:
1. ¿Por qué no podemos mostrar que sólo desde $X^4-16X^2+4$ no tiene raíces racionales por lo tanto irreductible?
2. ¿Por qué tenemos que factorise en un producto de dos monic polinomios cuadráticos con coeficientes enteros? Por qué monic? Y ¿por qué no podemos factorise en polinomio con grado 1 y 3? También, por último, ¿por qué los coeficientes tienen que ser números enteros?

Gracias por las explicaciones!

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Edit: Gracias por todas las respuestas.

Vi que el Segundo Lema de Gauss se utiliza. Pero yo sólo aprendió el primero en la clase. Que es:
Deje $R$ ser un Único Facorisation de Dominio. Si $f,g\in\mathbb{R}[X]$ son primitivos, entonces también lo es su producto $fg$.

Es inevitable el uso de la Segunda Lema de Gauss? ¿Hay alguna otra manera?

Answer 1

Respuesta a la pregunta 1: Considere la posibilidad de polinomio $(x^2+1)^2\in\Bbb Q[x]$. No tiene raíces racionales y es reducible $\Bbb Q$. Tu razonamiento falla.

La ausencia de raíces sólo se garantiza que no hay factores de grado $1$.

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Su polinomio tiene grado $4$, ya que no tiene raíces racionales, no tiene lineal de factores (que son factores de grado $1$), pero podría tener dos factores de grado $2$.

Asumir y tratar de llegar a una contradicción. Si lo hace, entonces es irreducible sobre $\Bbb Q$.

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Respuesta a la pregunta 2: Los factores no necesita ser monic polinomios, pero que puede ser. Si usted encuentra una factorización en el que los factores no son monic, sólo tienes que multiplicar por una cierta constante para hacer de los factores de monic.

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Respuesta a la pregunta 3: Si usted encuentra una factorización de la $(x-\alpha )q(x)$ donde $q(x)$ es un polinomio con coeficientes racionales de grado $3$, entonces el polinomio tendrá una raíz racional, es decir, $\alpha$ y tiene estabalished no.

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Respuesta a la pregunta 4: Los coeficientes no necesita ser enteros, pero en el segundo lema de Gauss, nos permite asumir los coeficientes son números enteros, haciendo los cálculos mucho más simple.

Answer 2

¿Por qué no podemos mostrar que sólo desde $x^4−16x^2+4$ no tiene raíces racionales por lo tanto irreductible?

Porque eso no es cierto. Tomemos, por ejemplo, el polinomio $x^4-5x^2+6$. Ahora esto no tiene raíces racionales, pero $$ x^4-5x^2+6=(x^2-2)(x^2-3) $$ y, por tanto, el polinomio no es irreducible. Este truco sólo funciona con cuadráticas y cúbicas.

¿Por qué tenemos que factorise en un producto de dos monic polinomios cuadráticos con coeficientes enteros? Por qué monic? Y ¿por qué no podemos factorise en polinomio con grado 1 y 3? También, por último, ¿por qué los coeficientes tienen que ser números enteros?

El hecho de que el polinomio no tiene raíces racionales garantías de que no tiene factores de grado $1$, por lo que es imposible para el factor en polinomios de grado $1$ y el grado $3$. La razón por la que los coeficientes tienen que ser números enteros es sólo una consecuencia de Gauss Lema: esto dice que un polinomio con coeficientes enteros es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ si y sólo si es irreducible sobre $\mathbb{Z}$.

Answer 3

Ya ha respondido a algunas de usted mismo. Usted dice que el polinomio no tiene racional de la raíz. Si (y sólo si) tenía una raíz racional, puede ser factorizado como un producto de un polinomio de grado 1 y un polinomio de grado 3, ambos con coeficientes racionales. Por lo que esta posibilidad ha sido descartada. Pero no es todavía el caso que considere que el polinomio factores como producto de dos polinomios cuadráticos con coeficientes racionales. Si lo hiciera, podría multiplicar cada uno de ellos por una constante para hacer de ellos monic, por lo que sólo necesita considerar ese caso. Para el resto: has hecho de Gauss Lema en la clase?

Answer 4

1. Un polinomio es irreducible si no puede ser escrito como el producto de dos polinomios de grado menor. No es necesariamente el caso de que uno de estos factores tiene grado 1. (Aunque, si el polinomio es cuadrática o cúbica, a continuación, basta con comprobar contra lineal de los factores).

2. Si pudiéramos encontrar, se perfectamente permitido factor lineal y cúbico. Sin embargo, no es lineal factor (un hecho, el autor parece haber considerado como "trivial", pero al menos correctamente verificado que). Esto nos deja con polinomios cuadráticos con coeficientes racionales. por el lema de Gauss, de hecho podemos suponer que los coeficientes son en realidad números enteros - que facilita la búsqueda, así como cualquier prueba de la inexistencia de factores. Si el líder de los coeficientes de estos eran cualquier cosa $\pm1$, no podíamos $1$ como coeficiente inicial en el producto. Y, por supuesto, podemos convertir un líder de $-1$$1$. Por lo tanto, si hay un factor, entonces estos factorse puede ser normalizado a ser monic entero de polinomios.