Escrito escalares del campo cuántico como modo de expansión de la forma de interacción de la teoría

Question

Sabemos que para Klein-Gordon Ecuación cuántica de campos se puede escribir en la forma $$\phi(\mathbf{x},t) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_p}}[a_p e^{-ipx} + a^\dagger_p e^{ipx}]$$

Se dijo en algún lugar que en teoría interactiva, puedo escribir escalares del campo en la misma forma como esta por un tiempo fijo $t$ con la creación y la aniquilación del operador reemplazado como $a_p(t)$$a_p^\dagger (t)$, que cumplen la misma álgebra como la libertad de teoría.

La razón para esto era debido a que el espacio de Hilbert es la misma en cada momento debido a que el tiempo de traducción de la invariancia, que no entiendo como una justificación de este.

Por favor alguien puede elaborar sobre este punto? Gracias.

Answer 1

Vamos a entender esta afirmación en el formalismo Hamiltoniano, donde KG ecuación es equivalente a tener la libre escalar campo de hamilton y la de Heisenberg ecuaciones de movimiento para los campos libres.

A continuación, $\phi(\vec{x},t) = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_p}}\left( a_p e^{ipx} + a^\dagger_p e^{-ipx}\right)$ y el canónicas conjugadas $\pi(\vec{x},t) = \dot{\phi}(\vec{x},t)$, son los más generales de la solución.

Ahora vamos a considerar una interacción de Hamiltonianos $H = H_0 + \lambda V$, y DEFINIR $$\Phi(\vec{x},t)\equiv e^{iHt}e^{-iH_0 t} \phi(\vec{x},t) e^{iH_0 t}e^{-iHt}$$ $$\Pi(\vec{x},t)\equiv e^{iHt}e^{-iH_0 t} \pi(\vec{x},t) e^{iH_0 t}e^{-iHt}$$ Entonces es sencillo demostrar que $\Phi$ $\Pi$ satisfacer la canónica relaciones de conmutación, así como la nueva interacción de Heisenberg ecuaciones (observe que en la definición utilizamos $H(\phi,\pi)$ y en las ecuaciones de Heisenberg $H(\Phi,\Pi)$, estamos autorizados a hacerlo, porque ambos son iguales!). (Sugerencia: para ver que los nuevos campos de satisfacer la totalidad de heisenberg ecuaciones aviso que $\Phi(\vec{x},t) = e^{iHt}\phi(\vec{x},0)e^{-iHt}$) Lo que en este sentido son la interacción de los campos, escrito en términos de los campos libres.

Entonces llegamos a la conclusión de que $$\Phi(\vec{x},t) = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_p}}\left( \mathbb{a}(t)_p e^{ipx} + \mathbb{a}(t)^\dagger_p e^{-ipx}\right)$$ Donde $$\mathbb{a}(t)_p\equiv e^{iHt}e^{-iH_0 t} a_p e^{iH_0 t}e^{-iHt}$$ y $\mathbb{a}_p(t)$ satisface las necesarias relaciones de conmutación como consecuencia de sus padres $\Phi$ $\Pi$ hacerlo, o como puede ser verificada directamente con los de $a_p$.

Aviso de que esta descripción es particularmente útil para débilmente acoplado teorías, desde entonces $\mathbb{a}_p = a_p + \mathcal{O}(\lambda,a_p^2)$, entonces todo nuestro espectro de partículas puede ser inferida a partir de la libre teoría, a diferencia de cuando esta expansión no es válida, y la nueva creación operador puede crear estados completamente diferentes en la naturaleza de lo que está contenida en el libre de la teoría.