(medidas complejas) $d\nu=d\lambda +f\,dm \Rightarrow d|\nu|=d|\lambda| +|f|\,dm$ $f\in L^1(\nu)\Rightarrow f\in L^1(|\nu|)$

Question

Dos ejercicios simples en complejos medidas que no sé cómo resolver, de Folland del Análisis Real. Me resulta difícil de manipular las definiciones en los cálculos. Por el contexto, si $\nu$ es un complejo medida en $(X,\mathcal{M})$ $|\nu|$ se define como $d|\nu|=|g|\,d\mu$ donde positivos de medida $\mu$ $g\in L^1(\mu)$ son tales que $\nu \ll \mu$ $\nu = g\,d\mu$ (y en el libro de texto es muestra de que esta definición no depende de la elección de $\mu$).

1) Vamos a $\nu$ ser un reguar complejo medida de Borel en $\mathbb{R}^n$, $m$ denotar la medida de Lebesgue, y deje $d\nu = d\lambda + f\,dm$ ser su Lebesgue-Radon-Nikodym de la representación. Entonces ("se puede comprobar con facilidad") $d|\nu|=d|\lambda|+|f|\,dm$.

2) Si $f\in L^1(\nu)$$f\in L^1(|\nu|)$. Tuve la oportunidad de probar la inversa de implicación, pero no esta.

La definición de $|\nu|$ en el caso de la real firmada medidas (como $|\nu|=\nu^+ + \nu^-$) tiene sentido para mí pero no puedo ver de forma intuitiva en la definion de $|\nu|$ para el complejo de las medidas indicadas en el libro de texto. ¿Tiene algún consejo sobre esto?

Gracias!

Answer 1

1) puede Que intente demostrar la fácil desigualdad: $|\nu_1+\nu_2|\le|\nu_1|+|\nu_2|$ (Véase la Proposición 3.14 en Folland del libro para una prueba). Ya que en nuestro caso las dos medidas son mutuamente singular (esto significa, en Folland de la prueba, que los soportes de $f_1$ $f_2$ son distintos), la igualdad se mantiene.

2) es fácil demostrar que esta al $\nu$ es un valor real de la medida. En el complejo de medir caso, podemos escribir $\nu=\nu_r+i\,\nu_i$ donde $\nu_r$ $\nu_i$ son reales-valores de las medidas. Definir $\mu=|\nu_r|+|\nu_i|$. A continuación, $d\nu_r=h\,d\mu$ $d\nu_i=k\,d\mu$ para algunos de los verdaderos valores de las funciones de $h,k\in L^1(\mu)$. También tenemos $\nu\ll\mu$. Por lo $\frac{d\nu}{d\mu}=h+i\,k$. Deje $g=h+i\,k$. Vamos a usar $L^1(d\nu)$ para denotar $L^1(\nu)$. A continuación, $$L^1(d\nu)=L^1(h\,d\mu)\cap L^1(k\,d\mu)=L^1(|h|\,d\mu)\cap L^1(|k|\,d\mu)=L^1(|g|d\mu)=L^1(d|\nu|)$ $ El primero y el último de igualdades son sólo definiciones. La segunda igualdad es la medida real del caso, y el tercero es un resultado de la trivial desigualdad $\max\{|h|, |k|\}\le|g|\le|h|+|k|$.

Answer 2

Comentario

Por la construcción está garantizado: $$\lambda\geq0:\quad|\mu(E)|\leq\lambda(E)\implies|\mu|(E)\leq\lambda(E)$$ (Este minimality de la propiedad es de ninguna utilidad aquí!)

Pero tiene una consecuencia, vale la pena mencionar: $\mu=\nu+\nu'\implies|\mu|\leq|\nu|+|\nu'|$

Configuración

Dada la medida de Lebesgue $\lambda$.

Considere la posibilidad de un complejo de medida $\mu$.

Parte 1

Por Lebesgue-Radon-Nikodym uno tiene: $$\mathrm{d}\mu=h\mathrm{d}\lambda+\mathrm{d}\mu_\perp$$

Por la singularidad que tiene: $$\mathrm{d}\mu\restriction_S=h\mathrm{d}\lambda\restriction_S\quad\mathrm{d}\mu\restriction_{S^\complement}=\mathrm{d}\mu_\perp\restriction_{S^\complement}$$

Así que uno obtiene: $$\mathrm{d}|\mu|\restriction_S=|h|\mathrm{d}\lambda\restriction_S\quad\mathrm{d}|\mu|\restriction_{S^\complement}=\mathrm{d}|\mu_\perp|\restriction_{S^\complement}$$

Concluyendo: $$\mathrm{d}|\mu|=|h|\mathrm{d}\lambda+\mathrm{d}|\mu_\perp|$$

Parte 2

Uno tiene, por definición, debido a Rudin: $$f\in\mathcal{L}(\mu):\iff f\in\mathcal{L}(|\mu|)$$ Para la equivalencia de las definiciones, véase: Complejo Medidas: Integrabilidad