Convergente o divergente

Question

Para hacer la tarea (Cálculo 2) tengo que determinar qué esta series convergen o divergen y no sé cómo empezar:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac {\ln(1+e^{-n})}{n}. $$

Answer 1

Sugerencia: Para$x\gt 0$,$\ln(1+x)\lt x$.

Comentario: Esta desigualdad tiene muchas pruebas. Una forma es exponentiate. Obtenemos el equivalente a la desigualdad $1+x\lt e^x$, lo que está claro a partir de la energía de la serie de $e^x$. O bien podemos dejar que la $f(x)=x-\ln(1+x)$. Tenga en cuenta que $f(0)=0$ $f'(x)\gt 0$ al $x\gt 0$.

Answer 2

Para un gran $n$, tenemos

$$ \ln(1+e^{-n}) \sim e^{-n}. $$

Ver técnicas relacionadas.

Answer 3

$1+e^{-n}>e^{-n}\Rightarrow \ln (1+e^{-n})> \ln e^{-n}=-n$

Por eso, $\dfrac {\ln(1+e^{-n})}{n}> ??$

¿Qué se puede concluir?

Answer 4

Cuando usted tiene este tipo de series eliminar el valor constante y tratar de aplicar algunas propiedades básicas. Para los primeros ejercicios de este debería ser suficiente.

Puede calcular el $ln(1+e^{-n})$ $ \ln(e^{-n})$y con las propiedades de los logaritmos consigue $-nln(e)=-n$ y el : $$ln(1+e^{-n}) \sim-n$$ $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac {\ln(1+e^{-n})}{n} \sim \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac {-n}{n}.$$ Así que..trate de seguir por ti mismo