Definir la cardinalidad en la ausencia de elección

Question

En virtud de ZFC podemos definir la cardinalidad $|A|$ para cualquier conjunto $A$ $$ |A|=\min\{\alpha\en \operatorname{Ord}: \exists\text{ bijection } \\alpha\}. $$ Esto es debido a que el axioma de elección permite a cualquier conjunto bien ordenado, de modo que el conjunto después de $\min$ es no vacío.

Si no suponemos el axioma de elección (es decir, tejer en ZF), entonces no hay (al menos) dos enfoques de la cardinalidad. La primera es que utilizamos la definición de la misma como por encima. Sin embargo, la definición sólo tiene sentido para aquellos conjuntos que puede ser bien ordenado. Por lo tanto el precio que se paga por la ausencia de elección es la cardinalidad de algunos juegos (el nonwellorderable) se deja sin definir. Pero tenga en cuenta que aunque $|A|$ no necesariamente tienen sentido para todos los conjuntos de $A$ en este enfoque, los diversos igualdades y desigualdades de la forma $|A|=|B|$, $|A|\leq|B|$ etc. hacer, ya que siempre puede interpretar como shorthands que "no es un bijection/inyección de $A\to B$".

El segundo enfoque es el que podemos definir la cardinalidad de todos los conjuntos que en el universo de Scott truco (espero hacerlo bien): $$ \gamma(A)=\min\{\alpha\en\operatorname{Ord}:\exists x\in V_\alpha\ \exists\text{ bijection }\x\} $$ y $$ |A|=\{x\in V_{\gamma(A)}:\exists\text{ bijection }\x\}. $$ Nos las arreglamos para definir la cardinalidad para todos los conjuntos de tal manera que $|A|=|B|$ fib hay un bijection $A \to B$. Sin embargo, a mí me parece que esta vez el precio que debemos pagar es que la tenemos muy antinatural cardenales en comparación con la primera. Por ejemplo

• los cardenales parecen ser bastante complicados conjuntos en comparación con el simple y llano inicial ordinales del primer enfoque,
• $|\alpha|=\alpha$ no se cumple para la mayoría (?) de la inicial ordinales $\alpha$ más,
• $|0|=1$, $|1|=\{1\}$, etc.

Mi pregunta es que qué vamos a ganar, si lo que sea, usando el segundo método (además de la gestión para definir la cardinalidad de todos los conjuntos)? Es una complicación innecesaria de no tener ninguna ventaja real sobre el primer enfoque (es decir, sólo un truco) o tiene un uso real en la teoría de conjuntos ZF?

Answer 1

La idea detrás de Scott truco de convertir las clases de equivalencia en el bastante complicado conjuntos es simplemente para facilitar el trabajo con el orden parcial de cardinalidades dentro de la teoría con facilidad.

En presencia de CA, siempre podemos escoger un ejemplo canónico para cada cardinalidad, es decir, la inicial ordinal de la equivalencia de la clase.

Esto es consistente con ZF sin posibilidad de elección de la canónica de representantes de existir. Es decir, no es definible de la clase de función $C$ tal que para todos los $X\in V$:

1. $C(X)=C(Y)\iff |X|=|Y|$;
2. $|C(X)|=|X|$

Este tipo de $C$ existe de forma natural con el axioma de elección, como he mencionado anteriormente. Parece que tenemos algo de tomar por sentado la existencia de este mundo.

Con o sin el axioma de elección, podemos considerar a $|X|$ como en la de Scott truco, es decir, tomando el equiparada conjuntos de rango. Sin embargo, con el axioma de elección se puede establecer el $C(X)=\min\{a\in Ord\mid |X|=|a|\}$, y suponemos $|X|=C(X)$.

El punto es que sin el axioma de elección, nosotros simplemente no tienen este lujo, y estamos reducidos a la manipulación de estos conjuntos complejos de cardinalidades. Esta es sólo una razón más de por qué el cardenal aritmética vuelto tan pesado al salir del axioma de elección atrás.

Cuando canónica de representantes no están garantizados, el uso de Scott el truco de ser esencial a la hora de escribir teoremas acerca de cardinalidades.

Supongamos $A$ amorfo (que es $B\subseteq A$ implica $B$ es finito o $A\setminus B$ es finito).

Quiero describir $(\{|Y|\colon Y\subseteq A\},<)$. El uso de Scott el truco de esto es fácil de hacer, ya que $Y\mapsto |Y|$ es definible función, el dominio de este conjunto parcialmente ordenado es definible por el bien de $A$.

Sin embargo el uso de la primera aproximación soy de izquierda a preguntarse cuál es el dominio de las cardinalidades de los subconjuntos de a $A$? En este enfoque, $|A|$ es un sintáctica de objeto, no semántico.

Puedo describir que esta es una linealmente conjunto ordenado (es decir, cada dos subconjuntos de a $A$ son comparables cardinalidades) pero puedo probar que este conjunto es exactamente $\omega+\omega^*$? (es decir, un orden lineal en la que cada punto tiene un número finito de puntos por encima o finitely abajo; pero no ambos) No, no puedo.

Esto es debido a que $B_X=\{|B|\colon |B|<|X|\}$ no puede ser descrito de manera uniforme dentro del modelo, por lo que no podemos describir su tamaño en un uniforme de la forma (que es como una función de $X\mapsto |B_X|$).

Como Andrés comentó sobre la cuestión principal, en muchos de los casos no es un gran problema. Esta es la principal razón por la que este "ejemplo" parece un poco artificial. Sin embargo, no ayuda cuando tienes una buena manera de definir las cardinalidades en los tiempos en los que realmente la necesitan.

Debo mencionar que los números ordinales son siempre bien ordenado y, por tanto, de una $\aleph$-número de tipo de cardinalidad, y tal $C$ puede ser definido para la clase de bien hacer pedidos conjuntos. La cosa es que sin el axioma de elección que sólo tienden a tener establece que no se puede bijected con los números ordinales con la ausencia de elección.

Para más información: T. Jech, El Axioma de Elección Ch. 11

Nota agregada: Scott truco hace un uso intensivo del axioma de regularidad (también: axioma de la fundación), y yo no soy consciente de una manera limpia para la definición de las cardinalidades con la falta de regularidad así la elección (o incluso con sólo el ex ausente).

Otra nota importante es que Scott truco es no sólo útil para definir cardinalidades cuando se carece de elección, sino también para definir cualquier otra equivalente, la relación de las clases. Cosas tales como ultraproducts del universo, por ejemplo, se basan en gran medida en esta construcción.

Answer 2

Me permite oponerse a la afirmación de que en la pregunta "tenemos muy antinatural cardenales" cuando utilizamos Scott truco. Creo que Scott truco nos trae más cerca de la "inicial ordinal" de la definición que hace a la mayoría de los naturales de la noción de cardinal, es decir, Frege de la noción. Frege la idea era que las abstracciones como la cardinalidad (donde nos resumen de los elementos particulares de un conjunto y sólo se preocupan de cuántos hay) debe ser dado por clases de equivalencia. Así, para Frege, el número de $3$ es la colección de todos los $3$-elemento de los conjuntos. [Tenga en cuenta que esto no es circular; se puede definir "$3$-element set" sin presuponer este número $3$.] Este es el más simple matemática de la entidad que es común a todas las $3$-elemento de los conjuntos. Frege enfoque se ejecuta en problemas en el habitual conjunto de teorías (como ZF) porque la colección de todos los $3$-elemento de conjuntos no es un conjunto, sino una clase adecuada. Scott truco está destinado a ser un mínimo de ajuste de Frege de la idea de producir un conjunto. (En otras teorías, como las Nuevas Fundaciones, cardenales en Frege, el sentido se establece, y creo que esta es la mejor definición de los números cardinales en tales teorías.) Observe también que Frege, complementado por Scott truco, puede ser aplicado a cualquier equivalencia "relación" en el universo de los conjuntos, no sólo a la relación de uno-a-uno la correspondencia. (Las comillas alrededor de la "relación" porque sería una clase adecuada de los pares ordenados en lugar de un conjunto.)

Answer 3

Como se señaló en Andreas Blass, la respuesta de Scott cardenales no son tan antinatural (y un gran número ordinal es también una complicada objeto). Incluso con el Axioma de Elección, la inicial ordinal definición hace cardinal y ordinal aritmética confuso. Por ejemplo, $2^\omega = \omega < \omega^2$, pero $2^{\aleph_0} > \aleph_0 = \aleph_0^2$. Por lo tanto hay una ventaja de asegurar que transfinito cardenales no números ordinales.

La pregunta pone de relieve un problema grave con Scott cardenales: su $0$ es el número ordinal $1$, lo que es confuso. Desde finito de los números ordinales y finito cardenales tienen la misma aritmética, propongo que (con o sin AC) aplicamos Scott truco para transfinito conjuntos, y definir el número cardinal de un número finito (es decir, Dedekind finito y bien disponible) para ser el apropiado número ordinal.