¿Por qué es $\lim\limits_{n\to\infty} (1 + \frac{1}{2n})^n = e^{\frac{1}{2}}$

Question

En mi libro de texto se dice que esto es obvio: $\lim\limits_{n\to\infty} (1 + \frac{1}{2n})^n = e^{\frac{1}{2}}$ .

Sin embargo, me siento estúpida por no entender por qué ¿Qué es lo que me falta?

Answer 1

Si se conoce la siguiente expansión en serie de Taylor, como $u \to 0$ , $$ \log(1+u)=u+O(u^2) $$ entonces se puede escribir, como $n \to \infty$ , $$ \left( 1+\frac{1}{2n} \right)^{n}=e^{\large n\log\left(1+\frac{1}{2n}\right)}=e^{\large n\left(\frac{1}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)}=e^{\frac{1}{2}+O\left(\frac{1}{n}\right)} $$ que da el resultado anunciado.

Answer 2

\begin{align} & t={{\left( 1+\frac{1}{2n} \right)}^{n}}\Rightarrow \,\,\,\ln \,t=\frac{\ln \left( 1+\frac{1}{2n} \right)}{\frac{1}{n}} \\ & \ln \,t=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1+\frac{1}{2n} \right)}{\frac{1}{n}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\frac{\frac{-\frac{1}{2{{n}^{2}}}}{1+\frac{1}{2n}}}{-\frac{1}{{{n}^{2}}}}=\frac{1}{2}\,\,\,\,\Rightarrow \,\,t=\sqrt{e} \\ \end{align}

Answer 3

$$ (1+1/2n)^n = ((1+1/2n)^{2n})^{1/2} \to e^{1/2} \quad \text{when} \, n \to \infty $$

Answer 4

De forma equivalente a la respuesta de Erik Joensson, dejemos que m= 2n. Entonces $(1+ 1/(2n))^n= (1+ 1/m)^{m/2}= ((1+ 1/m)^m)^{1/2}$ . Como x a la 1/2 es continua para todo x positivo, el límite de ésta, a medida que n va al infinito, es el límite si $(1+ 1/m)^{1/2}$ a la 1/2 potencia, es decir $e^{1/2}$ .

Answer 5

$e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}n\right)^n$

$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{\tfrac{1}{2}}{n}\right)^n=e^{1/2}$