Integral con un compacto admite la función $0$ indica el $L^2$ función de $0$ en casi todas partes

Question

Supongamos que tenemos $f\in L^2([0,1])$,y para cada $\varphi\in C_{0}^{\infty}((0,1))$, tenemos $$\int_0^1 f(x)\varphi(x)dx=0$$

Entonces, ¿cómo puedo mostrar $f=0$.e? Sé que cuando $f\in C^0([0,1])$ el resultado tiene, y $L^2([0,1])$ es el cierre de $C^0([0,1])$ $L^2$ norma. Lo que estoy tratando de hacer es suponer que tenemos una secuencia $\{f_n\}\in C^0([0,1])$ convergentes a $f$ $L^2$ norma, entonces tenemos

$$\left(\int_0^1 (f_n-f)\varphi dx\right)^2\leq \int_0^1 |f_n-f|^2 dx \int_0^1 |\varphi|^2dx\rightarrow 0$$

Por lo $\displaystyle \int_0^1 f_n\varphi dx\rightarrow 0$. Entonces no sé qué hacer a continuación.

Answer 1

Si usted sabe que $C_0^\infty((0,1))$ es denso en $L^2([0,1])$, un enfoque natural es hacer lo que hizo: tomar una secuencia $\phi_n$ $C_0^\infty((0,1))$ convergentes a $f$ $L^2$ y obtener, $$ \int_0^1 |f|^2 = \int_0^1 (f-\phi_n)\overline{f} \le \|f\phi_n\|_{L^2}\|f\|_{L^2}\to 0 $$ por lo tanto $\int_0^1 |f|^2=0$.

Sin la densidad resultado, me gustaría utilizar un enfoque diferente, que también funciona para otros $L^p$ espacios. Supongamos que el conjunto $\{x:f(x)\ne 0\}$ tiene medida positiva. A continuación, contiene algunos Lebesgue punto de $f$, decir $a$. Esto implica que los promedios $$\frac{1}{2h}\int_{a-h}^{a+h} f(x)\,dx$$ acercarse a algún valor distinto de cero $y\ne 0$. Tomar un simétrica de la protuberancia de la función $\phi$ centrada en$0$, apoyado en $[ -h, h]$. Integración por partes y la simetría de los rendimientos $$ \int_0^1 f(x)\phi(x-a)\,dx = -\int_0^h \phi'(s)\int_{como}^{+s}f(x)\,dx\,ds $$ que es distinto de cero para las pequeñas $h$, ya que el $\phi'$ es negativo y el de las integrales de $f$ todos tienen el mismo signo.