¿Existe un conjunto L de a pares distintos de líneas, cada línea en la dirección de un eje, en $\mathbb{R}^3$ tales que su unión es igual igual a $\{ x : x \text{ has at least one irrational coordinate}\}$?
Respuesta
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richard
Puntos
1
La respuesta es negativa. En efecto, supongamos lo contrario. Deje $P_0$ ser un avión $z=\sqrt{2}$ $l_0\in L$ ser una línea que contiene un punto de $(0,0,\sqrt{2})$. A continuación, $l_0$ está contenido en $P_0$. Cada punto de $p\in P_0\setminus l_0$ está contenida en una cierta línea $l_p\in L$. Desde las líneas de $l_0$ $l_p$ no se intersectan, sólo hay dos posibilidades para la dirección de la línea $l_p$: $l_p$ es paralela a la línea de $l_0$ o $l_p$ es perpendicular al plano del $L_0$. Si para todos los puntos de $p\in P_0\setminus l_0$ la primera posibilidad tiene, a continuación, para todas las líneas de la familia $L$ la dirección perpendicular al plano de la $L_0$ está prohibido. Si existe un punto de $p_0\in P_0\setminus l_0$ para que ostenta la segunda posibilidad, a continuación, esta posibilidad también se aplica para todos los puntos de la línea de $l_p\subset P_0$, pasando a través del punto de $p$, y paralelo a la línea de $l_0$. Estas líneas de llenar un avión $P_p$. Por lo tanto para todas las líneas de la familia $L$ la dirección perpendicular al plano de la $P_0$ está prohibido. Deje $P$ ser cualquier plano perpendicular a la dirección prohibida y que contiene un punto que todas las coordenadas son racionales. La dirección de la restricción implica que existe una dirección $d_0$ de manera tal que cualquier línea de $l\in L$, intersección $P$, tiene dirección $d_0$. Así que el conjunto $(\bigcup L)\cap P$ es una unión de líneas paralelas. Pero este juego es una copia de un conjunto $\Bbb R^2\setminus \Bbb Q^2$, que no es una unión de líneas paralelas, una contradicción.
PS. Tal vez la respuesta para una contraparte de esta pregunta para $\Bbb R^n$ es negativo.
