Algunas preguntas sobre la Teoría del Campo Conformista, las álgebras actuales y la construcción de la Sugawara

Question

Como no sé cómo añadir otra pregunta a un tema ya existente, Estoy abriendo un nuevo hilo. Sin embargo, me refiero a..: Preguntas para principiantes sobre la Teoría del Campo Conformista

Como ya he dicho, hace unas semanas empecé a leer sobre la Teoría del Campo Conformista. En realidad soy de una formación más matemática, sin embargo no estoy muy familiarizado con la Teoría Cuántica de Campos. Aunque estoy bastante familiarizado con la Mecánica Cuántica/Mecánica Clásica.

Ahora de nuevo algunas preguntas aparecieron:

1. Piensa en una teoría con un tensor de energía-momento que se da en el avión. Asumamos que la forma más general \begin {ecuación}T(z)= \sum z^{-n-2} L_{n}  \quad \text {y} \quad L_{n} = \frac {1}{2 \pi i} \oint dz z^{n+1} T(z). \end {ecuación} Ahora, algunas de mis referencias (como David Tong en la pregunta de referencia anterior) señalan fuera de eso $L_{0}$ genera escalas/rotaciones y $L_{1},L_{-1}$ generar traducciones. Así que consideremos el ejemplo de una rotación. El generador de una rotación es $z \frac { \partial }{ \partial z}$ . Ahora, para demostrar que $L_{0}$ actualmente genera esta rotación se necesita para mostrar que $[L_{0}, \phi ]$ = $z \frac { \partial }{ \partial z} \phi $ . He mostrado esto para el ejemplo del bosón libre, sin embargo no estoy 100% seguro de cómo probarlo en el caso general. ¿Alguien puede ayudarme? (Tal vez esté relacionado con las expansiones de productos para operadores...)

2. La segunda pregunta profundiza un poco más en la teoría. Se refiere a las Algebras actuales. He leído algunos artículos sobre la construcción de la Sugawara y allí el Sr. Sugawara propone un Energía-Momento-Tensor de la forma \begin {ecuación} T(z) = \gamma \sum_ {a=1}^{dim g} : j^{a}(z) j^{a}(z): . \end {ecuación}

Sin embargo, no veo realmente cómo se le ocurre o por qué esto parece ser una "elección natural" de un tensor de energía-momento. He oído que incluye el tensor de energía-momento del bosón libre (dado por $T(z)= \partial_ {z} \phi \partial_ {z} \phi $ ) como un caso especial. Para mí esto no es tan obvio. ¿Puede alguien explicarme por favor cómo se le ocurre que de una manera fácil. No creo que sea necesario mostrarme todos los cálculos. Sólo la idea básica sería útil para tener algo de intuición.

3. Tengo algunos problemas para entender la intuición detrás de las álgebras actuales. (Aún no he leído sobre los modelos WZW). El álgebra de Virasoro se me apareció en una especie de de forma natural en el ejemplo del bosón libre. La generalización es entonces bastante directamente. Sin embargo, no tengo esa clase de intuición para las álgebras actuales. He leído que proporcionan alguna "estructura de simetría adicional" que reduce el número de posibles funciones de correlación. Pero no conozco ningún detalle. Estaría más que feliz si alguien pudiera comentarlo.

Answer 1

Esta pregunta es bastante abierta. La segunda parte se refiere a la $SL(2,{\mathbb R})$ subgrupo del álgebra de Virasoro. Así que pensé que, a riesgo de dar respuestas que podrían no ser relevantes, intentaría conectar esto con la teoría de Lie. El álgebra de Lie g tiene un conjunto máximo de matrices conmutativas que definen el centro de Cartan $H^i$ , $i~=~1,\dots,~ rank(g)$ . Estos operadores actúan sobre el resto de operadores $E^\alpha$ como $[H^i,~E^\alpha]~=~\alpha^i E^\alpha$ donde $\alpha^i$ son las raíces del álgebra. Teorema de Jacobi $$ [[H^i,~E^\alpha],~E^\beta]~+~[[E^\beta,~H^i],~E^\alpha]~+~[[E^\alpha,~E^\beta],~H^i]~=~0 $$ nos permite calcular $$ [E^\alpha,~E^\beta]~=~\matrix{ C(α,β)E^{α+β}~& :~\alpha~+~\beta~a~root \cr 2\alpha\cdot H/\alpha^2~& ~: \alpha~+~\beta~=~0\cr 0~& ~: otherwise} $$ La constante de estructura $|C(\alpha,\beta)~=~\pm 1$ y en el segundo de ellos la contracción de $H^i$ con la raíz $\alpha^i$ es una traza de $H^i$ y se utiliza en una normalización $E^\alpha E^{-\alpha}~= 2/\alpha^2$ .

Los operadores para los modos de cuerda obedecen a un álgebra de Virasoro, $$ {[L^{a_j},~L^{b_j}]~=~(a_j~-~b_j)L^{a_j + b_j}~+~c(a_j ,b_j ).} $$ Los generadores de Virasoro se expanden según la expansión de Laurent $$ L^{a_n}~=~\oint\frac{dz}{2\pi iz}z^{a_n+2}T(z),~T(z)~=~-\sum_{a_n=\infty}^\infty\frac{L^{a_n}}{z^{m+2}}. $$ Conmutadores de los generadores de Virasoro $L^{-1},~L^0,~L^1$ producir el $SL(2,{\mathbb R})$ álgebra $$ [L^0,~L^{-1}]~=~L_{-1},~[L^0,~L^1]~=~-L^1,~[L^1,~L^{-1}]~=~2L^0. $$ Su forma es la misma que la de $SU(2)$ álgebra para los operadores de momento angular $L_\pm,~L_z$ pero no es compacto.

Un conmutador general de un elemento $T^a~=~T^a(z)$ en el espacio vectorial de un álgebra de Lie obedece a $[T^a,~T^b]~=~iC^{ab}_cT^c$ . El producto interior de estos elementos define un elemento positivo $\langle T^a,~T^b\rangle~=~h^{ab}$ . Esto sirve como métrica en el espacio vectorial del álgebra de Lie. Esto define una regla $$ \langle[T^a,~T^b],~T^c\rangle~+~\langle T^b,~[T^a,~T^c]\rangle~=~0. $$ Así que la métrica $h^{ab}$ definida en alguna representación, $r$ del elemento de la matriz $t^a_r$ entonces da el resultado del lema de Schur $tr(t^a_rt^b_r)~=~T_rh^{ab}$ . Esto da además la definición del número de Coxeter cox(g) $$ -\sum_{cd}C^{ac}_dC^{bd}_c~=~cox(g)(α_L)^2h^{ab} $$ para $\alpha_L$ cualquier raíz larga.

Con algunos de estos fundamentos algebraicos de Lie se pueden encontrar expansiones de productos de operadores (OPE). El operador de vértice bosónico para la cuerda heterótica es de la forma $j(z)\phi^i({\bar z})exp(ik\cot X)$ para $X$ la hoja del mundo de las cuerdas. Un operador de vértice gauge bosónico es similarmente $j(z){\bar\partial}X^i({\bar z})exp(ik\cdot X)$ . La corriente es holomorfa en el complejo $z$ y la tensión-energía construida a partir de corrientes para ser conforme debe ser también holomorfa.. La forma más básica de una OPE es la $(1,0)$ corriente holomórfica es $$ j^aj^b~\sim~ k^{ab}/z^2~+~i(c^{ab}_c/z)f^c(0). $$ El contenido algebraico se halla tomando la expansión de Laurent de la corriente $$ j^a(z)~=~\sum_{m=-\infty}^∞\frac{j^a_m}{z^{m+1}}, $$ donde los coeficientes actuales satisfacen una álgebra de Lie $$ [j^a_m,~j^b_n]~=~mk^{ab}\delta_{m,-n}~+~iC^{ab}_cj^c_{m+n}, $$ que es un álgebra de Virasoro. Los coeficientes $k^{ab}~=~kh^{ab}$ . Para $m = 0,\pm 1$ el álgebra de Virasoro obedece a un álgebra cerrada de conmutadores $$ [j^a_0,~j^b_{\pm1}]~=~ic^{ab}_cj^c_{\pm 1},~ [j^a_1,~ j^b_{-1}]~=~2J_0, $$ que es un $SU(2)$ álgebra de los elementos $2\alpha\cdot H/\alpha^2$ , $E^\alphaα_0$ , $ E^{-\alpha}_0$ o los elementos $(2\alpha\cdot H~+~k)/\alpha^2$ , $E^\alpha_1 E^{-\alpha}_{-1}$ . Así que conectamos con la construcción algebraica de Lie anterior. El número de Coxeter anterior define una tensión-energía OPE $$ T~=~[(k~+~cox(g))(\alpha_L)^2]^{-1}:jj(z): $$ Con : : significa una normalización. Con trabajo adicional el álgebra actual del sistema construye expansiones OPE para términos relevantes. De este modo puede construirse una tensión-energía conforme consistente.